Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков (стр. 2 из 3)

Рассмотрим уравнение:

aⁿ + bⁿ = cⁿ

Уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿможно представить в виде

(a^n-2) · a² +(b^n-2) · b² = (c^n-2) · c²

Предположим, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿимеет решение в целых числах а’ , b’, c’

тогда уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿможно представить выражением в виде:

(a’^n-2) · a’² +(b’^n-2) · b’² = (c’^n-2) · c’²

А, затем, в виде:

K_a·a’² + K_b· b’² = K_c· c’²

Где

K_a= (a’^n-2), K_b= (b’^n-2), K_c= (c’^n-2) , где n > 2 ,n⊂N, {a’, b’, c’}⊂ Z .

Значит, {K_{a ,} K_{b ,}K_c} ⊂Zпринадлежит множеству натуральных чисел

Данное выражение K_a·a’² + K_b· b’² = K_c· c’², имеющее решение в целых числах геометрически является также прямоугольным треугольником со сторонами:

a1 = k_a·a’ и K_a = k_a²

b1 = k_b· b’ и K_a = k_b²

c1 = k_c· c’и K_a = k_c²

где{k_a, k_b, k_c }⊂ R

но {K_{a ,} K_{b ,}K_c} ⊂Zт.к. образуются из произведений целых чисел K_a= (a’^n-2), K_b= (b’^n-2), K_c= (c’^n-2) при натуральном n > 2

Уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿцелых числах а’ , b’, c’ можно представить в действительных числах:

a1² + b1² = c1² где{a1,b1, c1} ⊂ R

Применяем метод бесконечных (неопределенных) спусков

Если существует решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿв целых числах {a’, b’, c’}⊂ Z (а, значит и решение (a^n-2) · a² +(b^n-2) · b² = (c^n-2) · c² в целых числах {a’, b’, c’}⊂ Z)и если существует решение уравнения a² + b² = c² в целых числах подмножества действительных чисел {a1,b1, c1} ⊂ Z⊂R

То это решения этих уравнений пропорциональны:

K· a’² = а1²

К· b’² = b1²

К· c’² = c1²

{K} ⊂R принадлежит множеству действительных целых чисел.

Вместе с тем, решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿв целых числах {a’, b’, c’}⊂ Z имеет вид

a1 = K_a ·a’

b1 = K_b ·b’

c1 = K_c ·c’

отсюда следует, что

K_a = K_b = K_c = Kгде {K_{a ,} K_{b ,}K_c} ⊂Z

и

К = a^n-2 = b^n-2 = c^n-2 гдетакже {K} ⊂Z принадлежит множеству целых чисел

Получаем систему взаимно увязанных решений:

a’ⁿ + b’ⁿ = c’ⁿ

К · a’² + К · b’² = К · c’²

К = a^n-2 = b^n-2 = c^n-2 где{a’, b’, c’}⊂ Z и {K} ⊂Z

Невозможность получения решения системы уравнений (1):

aⁿ + bⁿ = cⁿ

К · a² + К · b² = К · c² (1)

К = a^n-2 = b^n-2 = c^n-2 где{a’, b’, c’}⊂ Z и {K} ⊂Z

является доказательством невозможности получения решения уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿв целых числах{a’, b’, c’}⊂ Z ,

если существует хотя бы одно решение a² + b² = c² в целых числах{p, q, r}⊂ Z .

И, наоборот, решение системы уравнений (1) при существующем хотя бы одном решении a² + b² = c² в целых числах{p, q, r}⊂ Z даст возможность найти решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿв целых числах{a’, b’, c’}⊂ Z .

Система уравнений (1) может быть преобразована в сумму систем уравнений (2) и (3)

при n ≠ 2 и К ≠ 0 где {a’, b’, c’}⊂ Z и {K} ⊂Z

aⁿ + bⁿ = cⁿгде

a² + b² = c²

K= a = b = c (2)

при n = 2 и К ≠ 0 где{a’, b’, c’}⊂Zи {K} ⊂Z

aⁿ + bⁿ = cⁿ

a² + b² = c²

K =a⁰ = b⁰ = c⁰ (3)

Рассмотрим систему уравнений (2) получаем:

2c² = c² ,

2b² = b² ,

2a² = a² ,

Отсюда следуют выводы:

1) Система уравнений (2)не имеет решение в целых числах {a’, b’, c’}⊂ Z, значит система уравнений (2) неразрешима в целых числах {a’, b’, c’}⊂ Z.

2) Система уравнений (2)имеет решение только в при а = 0, в = 0, с = 0 т.е. {a, b, c}⊂N , это решение что не входит в условие рассмотрение задачи.

Других решений система уравнений (2) не имеет (геометрически – треугольник не может быть одновременно равносторонним и прямоугольным).

Рассмотрим систему уравнений (3)

При n = 2 равенствозначений a⁰ = b⁰ = c⁰сохраняется при любых соотношениях a, b, c. Поиск хотя бы одного решения уравнения a² + b² = c² входит в условие доказательства теоремы Ферма.

Известно, что все решения в целых числах уравнения a² + b² = c²найдены и имеют следующий вид:

a = p² – q²

b = 2pq

c = p² + q²

где p и q – целые числа.

Для нашего доказательства достаточно одного решения. Например - (3,4,5).

Отсюда делаем вывод, если существует решение уравнения a² + b² = c² где {a’, b’, c’}⊂ Z то уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ при n ≠ 2 (где n – любое натуральное число) не будет иметь решение при любых {a, b, c}⊂ Z в силу неразрешимости системы уравнений (2).

Так как уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в ненулевых целых числах а’ , b’, c’ ({a’, b’, c’}⊂ Z ) при n ≠ 2,где n– любое натуральное число (n⊂N) , значит, оно не имеет решения и в случае, когда n >2 .

Доказательство Великой теоремы Ферма логически построено на доказательстве отсутствия необходимого условия решения в целых ненулевых числах уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ при натуральном n > 2 и геометрически может быть сформулировано таким образом: невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем в силу того, что необходимым условием такого разложения является возможность прямоугольного треугольника быть равносторонним (в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).

Вышеуказанные рассуждения просты, наглядны, они не основаны на поиске конкретных решений уравнения aⁿ+ bⁿ = cⁿ, а основаны на поиске доказательства, исключающего решение уравненияaⁿ + bⁿ = cⁿв целых числах.

Метод бесконечных (неопределенных) спусков был изобретен самим П.Ферма и, очевидно, что он им пользовался для умозаключения о невозможности разложения куба на два куба, биквадрата на два биквадрата Становится совершенно очевидным факт того, что сам П. Ферма имел «чудесное» доказательство своего великого открытия.