Смекни!
smekni.com

Композиции преобразований (стр. 1 из 6)

Оглавление

Предисловие...................................................................................... 3

Введение............................................................................................. 4

§1. Композиции движений пространства.......................................... 4

1.1. Основные композиции движений пространства........... 4

1.2. Композиции центральных симметрий пространства.... 9

1.3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................ 11

1.4. Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5. Применение композиций движений

пространства к решению задач...................................... 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства .............................................................................. 18

Литература........................................................................................ 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований fи g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j=gf.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1°. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f,g,h данного множества имеет место равенство:

h◦(gf)=(hg)◦f.

2°. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

§1. Композиции движений пространства

1.1. Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1.Найти композицию поворота Rlj и переноса

пространства при условии, что вектор
и ось поворота lне параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

Rlj = SbSa, где a^l, b^l, Ð(a, b)=

(здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), aÇbÇl=Oи
=SvSu, где uv, u^
. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда
Rlj=SvSuSbSa=SvSa. Если вектор
не ортогонален оси l, то прямые aи v скрещиваются, и угол между ними равен углу между aи b, т.е. равен
. Композиция SvSaесть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых aи v, и вектором 2
, где P=aÇm,Q=vÇm,ml. Итак,

Rlj =
Rlj , ml.

Если

^l, прямые aи v пересекаются, поэтому
=
,и искомая композиция является поворотом Rmj. Если при этом j =p, то имеем, что
Rlj = Sm,
^l, ml.

m

l Q
v P a O
u b

Рис. 1

Задача 2.Найти композицию двух поворотов пространства RbbRaa.

Решение. Сначала найдём композицию RbbRaa двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр hпрямых a иb и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

Raa=Sh◦Su , Rbb=Sv◦Sh , u^a, u^b, uÇhÇa=A, vÇhÇb=B,

Ð(u, h)=

, Ð(h, v)=
(рис. 2). Тогда

RbbRaa=SvShShSu=SvSu. Оси uиv скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые aи b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий SvSuесть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр lпрямыхuи v, угол w=2Ð(u, v), а вектор

=2
, где P=uÇl, Q=vÇl.
b h a B
b v u¢
a A l u

Рис. 2