Краевые задачи и разностные схемы (стр. 3 из 7)
 |  |  |  |  |
 | 1 | -2 | 1 | -12 , 2 |
 | 1 | -2 | 1 | 0 , -1 |
 | 1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
 | | | |  |  |
| | 2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 |
| | 1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 |
| | 0 | 1 | -2 | 1 | -5 , -2 |
 | -1 | 4 | -5 | 2 | 55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
 | | | | |  |  |
| | 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150 , 12 |
| | 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15 , -3 |
| | -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0 , 2 |
| | -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15 , 3 |
 | 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
 | | | | | |  |
| | 225 | -770 | 1070 | -780 | 305 | -50 |
| | 50 | -75 | -20 | 70 | -30 | 5 |
| | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 | 0 |
| | 0 | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 |
| | 5 | -30 | 70 | -20 | -75 | 50 |
 | -50 | 305 | -780 | 1070 | -770 | 225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
 | | | | | | |  |
| | 812 | -3132 | 5265 | -5080 | 2970 | -972 | 137 |
| | 137 | -147 | -255 | 470 | -285 | 93 | -13 |
| | -13 | 228 | -420 | 200 | 15 | -12 | 2 |
| | 2 | -27 | 270 | -490 | 270 | -27 | 2 |
| | 2 | -12 | 15 | 200 | -420 | 228 | -13 |
| | -13 | 93 | -285 | 470 | -255 | -147 | 137 |
 | 137 | -972 | 2970 | -5080 | 5265 | -3132 | 812 |
Например, производная первого порядка
в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид: 
, 
.Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.
4. Краевые задачи для уравнений второго порядка
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.