Системы счисления и основы двоичных кодировок (стр. 4 из 7)
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием ρ, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется
последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.
Например,
 |
 |
Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде
Разберем один из примеров:
3547=3*72+5*71+4*70
2637=2*72+6*71+3*70
Имеем:
(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =
=(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)
=5*72+1*72+4*7+7
=6*72+4*7+7
=6*72+5*7+0
=6507
Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.
Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.
Например,
 |
1.5.2 Умножение и деление
Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием ρ составляется таблица умножения однозначных чисел.
| * | 0 | 1 | 2 | · | · | · | q-1 |
| 0 | 0 | 0 | |||||
| 1 | 0 | q-1 | |||||
| 2 | 0 | 1(q-1) | |||||
| *** | *** | *** | |||||
| q-1 | 0 | 1(q-2) |
Например, таблица умножения в шестеричной системе счисления:
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 10 | 12 | 14 |
| 3 | 0 | 3 | 10 | 13 | 20 | 23 |
| 4 | 0 | 4 | 12 | 20 | 24 | 32 |
| 5 | 0 | 5 | 14 | 23 | 32 | 41 |
Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием ρ производится так же, как в десятичной системе - "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.
Например,
 |
При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:
 |
 |
Деление в системах с основанием ρ производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной ρ-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в ρ-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.
Например:
 |
1.6 Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Существует много различных способов перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Способ деления.
Пусть дано число N=anan-1. . . a1 а0р.
Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:
N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)
где1<bm<h-1, 0 ≤ bi ≤ h-l (i=0, 1,... ,m-l), тогда
N=bmbm-1... b1boh (2)
Из (1) получаем:
N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, где 0≤ b0 ≤h (3)
To есть цифра b0 является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное Nl= bmhm-1+ . . . +b1 представим в виде:
Nl= (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, где 0≤ b2 ≤h (4)
Таким образом, цифра bi в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N1 на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N2 представим в виде:
N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, где 0≤ b2 ≤h (5)
то есть цифра b2 является остатком от деления второго неполного частного N2 на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем Nm= bm, где bm<h, так как:
Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1
Таким образом, последовательность цифр bm, bm-1 . . ,b1,b0 в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.
Рассмотрим пример: Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:
Таким образом, число 12310=7(11)16 либо можно записать как 7B16
Запишем число 340227 в пятеричной системе счисления:
Таким образом, получаем, что 340227=2333315
Перевод с использованием десятичной системы счисления.
Любое число в любой системе счисления представимо в виде:
N = anpn+...+a1p+a0
Таким образом, имея запись числа в таком виде, мы легко можем перевести его в привычную нам десятичную систему счисления. Например
22095=2*53+2*52+0*51+9*50=30910
Так же, число, представленное в десятичной системе счисления, мы можем расписать по степеням любого другого основания:
2208097=2*75+2*74+0*73+8*72+0*71+9*70=388177
Таким способом можно перевести числа из одной системы в другую. Например: переведем число 6257 в 3-ичную систему счисления.
6257=6*72+2*71+5*70=6*49+2*7+5=31310
31310=1*35+0*34+2*33+1*32+2*31+1*30=1*243+2*27+1*9+2*3+1=1021203
Ответ: 625т=1021203
Систематические дроби. Перевод дробей в различные системы счисления.
Известно, что десятичная дробь отличается от целого числа только наличием запятой, отделяющей целую часть от дробной, и такое сходство не случайно.
Можно сказать, что запись дробного числа в виде десятичной дроби представляет собой перенесение общего принципа записи чисел в позиционной десятичной системе счисления на дробные числа.
В самом общем случае смешанное число, содержащее целую и дробную части, представляется в виде суммы степеней десятки и
Десятичные дроби являются частным случаем систематических дробей, которые можно строить аналогичным образом для любой позиционной системы счисления.
Например, дробь 5-1 + 6-2 + 3-3 назвать восьмеричной и записать в виде: 0,5638.