Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 из 2)
А2 – билет оказался с мелким выигрышем;
А3 – билет оказался без выигрыша.
| Р14(5,4,5) = | 14! | х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = | 6х7х8х9х10х11х12х13х14 | х |
| 5! 4! 5! | 2х3х4х2х3х4х5 |
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 » 0,0378.
Ответ: Р » 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .
Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
| Рn(m) » | am | e-a , a = np . |
| m! |
Подсчет вручную дает следующие результаты:
| Рn(m) » | 59 | х | 1 | » | 58 | х | 1 | » |
| 2х3х4х5х6х7х8х9 | е5 | 2х3х4х6х7х8х9 | 2,75 |
| » | 390625 | » | 390625 | » 0,03751 . |
| 72576 х 143,5 | 10 413 862 |
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn(m) » 0,03627 .
Ответ: Рn(m) » 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
Варианты 22—31:
Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.
Решение задачи
Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n(1)
где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
(2)где:
(3)где:
(4) 
(5) 
(6)Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
| k2 – np | » | 40 – 30 | » | 10 | » 2,18 . |
| Ö npq | 4,58 | 4,58 |
| k1 – np | » | 0 – 30 | » | -30 | » - 6,55 . |
| Ö npq | 4,58 | 4,58 |
Pn(m£k2) » Ф(х2) – Ф(х1) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn(m£ 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2
Варианты 17-24:
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
| Р(х) = | í | g, х Î [-1,5, 1], |
| 0, x Ï [-1,5, 1]. |
Найдемg. Должно выполняться соотношение:Fx(+¥) = 1;
| òp(x)dx = 1; | ògdx = 1; | gx | 1 | = 1; | g*(1+1,5) = 1; | g = | 1 | =2/5 . |
| -1,5 | 2,5 | |||||||
| -¥ | -1,5 |
| 1 | |||||||
| Найдем: Мx = | òх2/5 dx = | 2 х2 | 1 | = | 1/5 (1-2,25) = | -1,25 | = -0,25 . |
| 5 2 | -1,5 | 5 | |||||
| -1,5 |
| 1 | ||||
| Найдем: Dx = Мx2 – (Мx)2 = | ò2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5 | x3 | 1 | - 0,0625 = |
| 3 | -1,5 | |||
| -1,5 |
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .
| í | 0 , | x < -1,5; | ||||||||
| x | x | |||||||||
| Найдем: Fx(x)= | òp(х) dx = | ògdt , | -1,5 £ x < 1; | |||||||
| -¥ | -1,5 | |||||||||
| 1 , | x ³ 1 . | |||||||||
| x | x | |||||||||
| ògdt = | gt | = | gx + 1,5g = | 2/5x + 0,6 . | ||||||
| -1,5 | -1,5 | |||||||||
Найдем:P{-1<x<1} = Fx(1) - Fx(-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .
Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.
Список использованной литературы
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.
4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.