Математическая логика (стр. 3 из 7)
.Лампа горит, если х3 = 1 и одновременно равны 1 либо х1, либо х2 (х1 = 1 или х2 = 1)
Рис. 5 - Последовательно-параллельное соединение выключателей
2.4 Инверсия
Пусть лампа подсоединяется к источнику питания так, как показано на рис. 6:
Рис. 6 - Инвертирующая схема
В этом случае выключатель соединяется параллельно с лампой. Лампа будет гореть, когда выключатель выключен. Формально такое функци- ональное поведение выражается:
, где L = 1 при х = 0 и L = 0 при х = 1. Значение этой функции обратно значению входной переменной.Вместо слова инверсия существует более общий термин отрицание.
Таким образом,
есть отрицание х: . Символ ¯ называют NOT-оператором.Количество логических функций в зависимости от числа переменных равно
. Булевых функций одной переменной – четыре:| x | f0 | f1 | f2 | f3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Индекс I функциональной переменной fi, I = 0, 1, 2, 3, равен десятичному эквивалентному набору значений этой функции, читаемому сверху вниз.
Функции f0(x) и f3(x) – константы 0 и 1 соответственно. Их значения не зависят от значения переменной х. Функция f1(x) “ повторяет “ х: f1(x) = x.
Функция f2(x) называется отрицанием х (или функцией НЕ) и обозначается
, т.е. f2(x) = . Ее значение противоположно значению х.Булевых функций двух переменных – шестнадцать:
| x1 | x2 | f0 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 | f11 | f12 | f13 | f14 | f15 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Индекс I функциональной переменной fi, I = 0, 1, 2, …, 15, равен десятичному эквивалентному набору значений этой функции, читаемому сверху вниз. Приведем эти булевы функции:
- константа ноль; 
- конъюнкция; 
х1 –|→ 
- левая коимпликация (читается «не если х1, то х2», префикс ко – от лат. conversus – обратный); 
; 
х1 ←|– х2 - правая коимпликация; 
; 
- сложение по модулю два или функция неравнозначности, неэквивалентности; 
- дизъюнкция; 
х1 ◦ х2 = х1 ↓ х2 - функция Вебба (Пирса); 
х1 ~ х2 – функция эквивалентности, равнозначности; 
- отрицание х2; 
- правая импликация (читается « если х2, то х1»); 
- отрицание х1; 
- левая импликация (читается «если х1, то х2»); 
- функция Шеффера; 
- константа единица.2.5 Свойства элементарных функций алгебры логики
2.5.1 Функция сложения по модулю два (по mod 2)
Пусть
Операция 
“сложениe по mod p “ определяется следующим образом: а b = c, где с – остаток от деления на p числа a + b. Например, если р = 7, то 
. Тогда 
, 
.При сложении по mod 2: р = 2,
. Тогда при а = х1, b = x2 получим: 
| х1 | х2 |  |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
.Справедливы коммутативный и ассоциативный законы. Дистрибутивный закон имеет вид:
Аксиомы:
Связь
с функциями 
¯: 
.2.5.2 Функция Вебба (Пирса)
Аксиомы:
.Коммутативность:
.Формулы преобразования функций
¯ через ↓: 
.2.5.3 Функция импликации
Аксиомы:
.Импликация обладает свойством коммутативности в виде:
;ассоциативность не выполняется.
Формулы преобразования функций
¯ через →: 
.2.5.4 Функция Шеффера
Аксиомы:
.Свойство коммутативности верно только для двух переменных:
ассоциативность не выполняется.
Формулы преобразования:
3. Системы функций алгебры логики
3.1 Функциональная полнота
Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями
и называется алгеброй Жегалкина. В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения: