Доказательство великой теоремы Ферма

Автор инженер-механик

Козий Николай Михайлович

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аⁿ+ Вⁿ= Сⁿ, (1)

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

Аⁿ= Сⁿ - Вⁿ(2)

Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).

ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:

Nⁿ = U² – V²(3)

Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nⁿи неизвестными переменными Uи V. Уравнение (3) запишем следующим образом:

Nⁿ = U² – V² = (U-V)∙(U+V) (4)

Пусть: U – V=M(5)

Тогда: U = V + M(6)

Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:

Nⁿ=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M² (7)

Из уравнения (7) имеем:

Nⁿ - M²=2V∙M(8)

Отсюда: V =

(9)

Из уравнений (6) и (9) имеем:

U=

(10)

Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является одинаковая четность чисел Nⁿи M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является делимость числа Nⁿна число M , т. е. число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nⁿ. Следовательно, должно быть:

Nⁿ =D·M(11)

где D - натуральное простое или составное число.

С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа Uи V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).

Отсюда следует:

Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.

Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Доказательство теоремы Ферма

С учетом доказанной леммы можно записать:

Nⁿ = Аⁿ = U² – V²(12)

Допустим,что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:

Nⁿ = D·M =Аⁿ= Сⁿ - Вⁿ = U² – V²(13)

Вⁿ= V²

(14)

Cⁿ= U² =

(15)

В

(16)

C

(17)

В соответствии с формулами (13) и (14) число Вⁿравно:

Вⁿ=

(18)

Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:

Cⁿ=

(19)

Из уравнений (18) и (19) имеем:

В

(20)

C

(21)

Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.