Экстремумы функции (стр. 4 из 4)
Следовательно, 
Однако точка 0(0,0) не является точкой экстремума, т.к. в любой окрестности точки 0 (о,о) имеются точки
A (e,e) и B(- e, e) " e > 0 :
f(A) = e2 > 0 = f(0) и f(B) = - e2 < f(0).
Абсолютный экстремум
Определение 15.3. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).
Теорема 15.2. (Вайерштрасс) Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения. (Без доказательства)
Теорема 15.3. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области. (Без доказательства)
Пример 15.2. Для функции z = x × y найти абсолютный экстремум в треугольной области S с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,2).
Определим
Критическая точка O(0,0) Î S. На участке ОА имеем у = 0 (0 £ х £ 1) и тогда z = 0.
Аналогично ОВ: х = 0 (0 £ у £ 2) Þ z = 0.
Наконец, отрезок АВ имеет уравнение 
или у = 2 - 2х (0 £ х £ 1).
Отсюда
z = x × y = 2x - 2x2 .
Имеем 
, т.е. при 
и т.к. 
, то в точке 
функция Z достигает своего наибольшего значения 
на отрезке АВ.
Итак, наименьшее значение z в S есть m=0 и оно реализуется в точках отрезков ОВ и ОА, составляющих часть границы Г.
достигает в точке 
Заключение
В работе приведены и численные методы нахождения экстремума. Необходимость в них возникает, когда система из частных производных не имеет аналитического решения или содержит сложную нелинейность. Аналитически решается лишь малая часть задач оптимизации, поэтому рассматриваются и некоторые численные алгоритмы. Численные алгоритмы запрограммированы, как правило, в математических компьютерных пакетах, которые обеспечивают высокую точность и скорость нахождения экстремума, но, к сожалению, не всегда находят глобальный экстремум. Среди таких пакетов следует отметить математические программы Maple, MatLab, Mathematica. Но это не означает, что для нахождения экстремумов следует пользоваться ими, не имея понятия о математических алгоритмах.
В работе в виду ограниченного объема не рассматривались задачи оптимизации функций с ограничениями, и задачи многокритериальной оптимизации. Тем не менее, они составляют важный класс задач поиска экстремума, которые часто появляются в научной и практической деятельности.
Литература
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.
2. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. - М.: Наука, 1984.
3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 1988.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.
5. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. - М.: Мир, 1985.
6. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. - М.: Наука, 1982.
7. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1975.
8. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: Изд-во МАИ, 1995.
9. Летова Т.А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и задачах. M.: Изд-во МАИ, 1998.
10. Пшеничный Б.И., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975.
11. Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 1979.