Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними (стр. 3 из 3)

Якщо до експерименту ймовірності гіпотез були

а внаслідок експерименту відбулася подія , то з урахуванням цієї події "нові", тобто умовні, ймовірності гіпотез обчислюються за формулами Байєса:

.

Формули Байєса дають можливість "переглянути" ймовірності гіпотез з урахуванням результату експерименту, що спостерігався.

Приклад.

На склад надходить продукція трьох фабрик, причому продукція першої фабрики становить 20%, другої – 46%, третьої – 34%. Відомо також, що середній процент нестандартних деталей для першої фабрики дорівнює 3%, другої – 2%, третьої – 1%.

1. Знайти ймовірність того, що вибрана навмання деталь буде нестандартною.

2. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена на першій фабриці, якщо вона виявилася нестандартною.

3. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена на другій фабриці, якщо вона виявилася стандартною.

Розв’язок.

1. Вибрана навмання деталь може бути виготовлена або на першій фабриці (подія

) або на другій (подія ) або на третій (подія ). Події несумісні і складають повну групу. Ймовірності подій дані в умові задачі:

.

В умові задані й умовні ймовірності. Ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде нестандартною (подія

) за умови, що деталь виготовлена на першій фабриці (подія ): . Аналогічно, ; .

Подія

(навмання вибрана деталь буде нестандартною) може відбутися тільки разом з однією з несумісних подій з повної групи, тому повну ймовірність події визначимо за формулою повної ймовірності:

.

2. Відомо, що подія

вже відбулася, потрібно знайти післядослідну ймовірність гіпотези . За формулою Байєса знаходимо:

.

3. Деталь виявилася стандартною, тобто в прийнятих нами позначеннях відбулася подія

. Знайти післядослідну ймовірність події . За формулою Байєса:

Події

(навмання вибрана деталь – нестандартна), (навмання вибрана деталь – стандартна) протилежні, тому

.

Аналогічно обчислюється

:

.

Підставляючи обчислені значення у формулу, отримаємо:

.