Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2
Файл:FERMA-n3-new
© Н. М. Козий, 2009
Украина, АС № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИn=3
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn+ Вn= Сn (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn= Сn -Вn (2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3.В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2) (3)
Обозначим: C – B = K (4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
A3 = K[C2+ C∙(C-K) + (C-K)2] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3(6)
Отсюда:3K·C2 -3K2 ∙C – (A3 – K3) = 0 (7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и Ки переменной величиной С.Решая его, получим:
C = 
(8)
Число Cбудет целым только при условии, если:
=3N∙K2 (9)Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4
A3 = K3∙ 
(10)
A = K 
(11)
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число Nдолжно быть нечетным числом.
Из анализа формулы (10) также следует, что если A– целое число, то должно быть:
A3 = K3∙ Y3, (12)
где: Y3 = (13)
Отсюда: A = K∙ Y =K (14)
Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:
Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)
По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:
SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)
где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).
Тогда: SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = 
(17)
Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):
Y3 = 1 + 6∙SN (18)
Из уравнения (18) следует, что все числа Y3нечетные.
Из уравнений (17) и (18) получим:
Y3 = 1 + 6∙ = , т.е. получили уравнение (13). (19)
т.е. получили уравнение (13).
Из уравнения (19) следует: Y = (20)
Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:
Y3 = 1 + 6∙ =1 + 6∙SN (21)
Из уравнения (21) следует: SN = 
(22)
Полагаем, чтоY- целое число. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y, определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы SN:
Y =3, SN = 4,333…; Y =5, SN = 20,666…; Y =7,SN1 = 57;
Y =9, SN = 121,333…; Y =11, SN = 221,666…; Y =13,SN2 = 366;
Y =15, SN =562,333…; Y =17, SN = 818,666…; Y =19, SN3 = 1143; Y =21, SN =1543,333…; Y =23, SN = 2027,666…; Y =25, SN4 = 2604.
Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19)не существует целого числаN, т. е.:
N= 
- дробное число. (23)
Есть также такие значения числа Y, для которых сумма SN– целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:
Y =7 =1 +6∙1; Y =13 =1 +6∙2; Y =19 =1 +6∙3; Y =25 =1 +6∙4.
Отсюда следует, что для чисел:
Y =1 +6∙m, где: m =1, 2, 3,…, сумма SN– целое число.
Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:
N= 
(24)
Подставляя ранее полученные значения целых чиселSN, получим:
N= 
= 21,377…N= 
= 54,120…
N= 
= 95,629…N= 
= 144,336…
Отсюда следует, что и при целых числах SN числоN - дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN1,SN2, SN3,SN4 на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:
SN1 =57 ≠ 1+2+3+∙∙∙+ p; SN2 =366 ≠ 1+2+3+∙∙∙+ r;
SN3 =1143 ≠ 1+2+3+∙∙∙+ s; SN4 =2604 ≠ 1+2+3+∙∙∙+ t.
Следовательно, в соответствии сформулами (19), (20) и (23) если N -целое число, тоY -дробное число. И, наоборот, если Y- целое число,то N -дробное число.
Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1числоY всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.
При N =1 из уравнения (14) следует A=K, а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.
Автор Козий Николай Михайлович,
инженер-механик
E-mail: nik_krm@mail.ru