Высшая математика, интегралы шпаргалка (стр. 2 из 4)

Пример: Вычислить

.

, откуда: .

Интегрирование по частям. Пусть

- дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.

Пример: Вычислить

.

Положим

. Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: .
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:

1).	2).
3).

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).

Теорема 1:Пусть

, тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:

1.	2.	3.	4.	5.
6.	7.	8.	9.	10. .

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей

Сделав подстановку:

, получим: .

тогда

a). Подстановки Эйлера.

1). Корни многочлена

- комплексные, сделав подстановку: , получим: .

2). Корни многочлена

- действительные: . Подстановка: , получаем: .

b). Подстановка:

, далее, если:

1). подстановка -	2). подстановка -
3). подстановка -

c).

Если

подстановка -

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

Универсальная подстановка:

, тогда:

подстановка:

или - нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала

Интегрируется по частям

Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция

называется первообразной для функции на , если: .

Пусть

и - первообразные функции на . Тогда: .

Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции

на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .
Замечание 26.1: Если - одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.