Универсальная тригонометрическая подстановка (стр. 1 из 2)
Контрольная работа
Дисциплина:
«Высшая математика»
Тема:
«Универсальная тригонометрическая подстановка»
1. Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются
. Например, 
, 
, 
.В то же время функция
рациональной не является.Теорема. Интеграл вида 
с помощью подстановки 
преобразуется в интеграл от рациональной дроби.
Для доказательства выразим
, 
и 
через 
: 
; 
; 
.В результате проведенных преобразований
, и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем: 
.В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.
Подстановка
, 
, 
, 
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции
Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида
. Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.1. Интегралы типа
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и получаем простой интеграл 
.2. Интегралы типа
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и интеграл приводится к виду 
.3. Если подынтегральная функция зависит только от
( 
), то удобна замена 
. В этом случае 
и 
. В результате получаем 
.4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней
и , то есть 
, то в этом случае также удобна замена . При этом: 
; 
; .Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.
Пусть дан интеграл
, где 
и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что 
. Тогда
.Далее делается замена
, и получаем 
.6. Пусть дан интеграл
, где 
и 
неотрицательные и четные. Положим, что 
, 
. Тогда 
; 
.Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле
, получаем снова случаи 5 или 6.7. Пусть дан
, где и – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.8. В случае
используется тригонометрическая формула 
и интеграл превращается в два табличных интеграла.
9. В случае
используется тригонометрическая формула 
.10. В случае
используется тригонометрическая формула
.3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида 
Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от
и 
. Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков 
и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: 
, 
, 
.Следующий шаг:
1)
рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Замена переменной в неопределённом интеграле.