Изгиб бруса (стр. 5 из 6)

(47)

С уменьшением отношения

уменьшается неравномерность распределения вдоль оси . Например, для круглого поперечного сечения ( ) при по формулам (43) и (44) имеем:

В этом случае абсолютная погрешность элементарной теории изгиба б величине наибольшего касательного напряжения составляет около 4%.

В произвольной точке круглого поперечного сечения (

) на основании формул (41) имеем:

) (48)

Найдем перемещения

произвольной точки круглого бруса при его поперечном изгибе.По формулам закона Гука

и учитывая формулы (11) и(48), получаем:

(49)

На основании

и

найдем:

Теперь по формуле:

получим:

(51)

Заметим, что если линия действия силы

проходит через центр изгиба, то выражения (51) для перемещений и справедливы и при любой другой форме поперечного сечения.

Если окрестность точки, совпадающей с началом координат, закреплена так, что при

, то все постоянные интегрирования и входящие в равенства (51), равны нулю.

§ 2. ЦЕНТР ИЗГИБА ДЛЯ БРУСА С ПОЛУКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Предполагается, что изгибающая сила

приложена в центре изгиба (рис. 6) в направлении, перпендикулярном к оси симметрии сечения, и, следовательно, брус не скручивается.

Рис. 6

Чтобы иметь наиболее простую запись уравнения контура сечения, начало координат О совместим не с центром тяжести сечения, а с центром полуокружности

контура. Тогда уравнение (26) запишется так:

(52)

где

— координата центра тяжести поперечного сечения. Примем:

(53)

тогда граничное условие (19) для функции напряжений Ф на полуокружности

контура сечения приводится к виду

(54)

Постоянное значение функции

на полуокружности АВК можно принять равным нулю:

(55)

На прямолинейном участке

контура сечения , поэтому согласно граничному условию (19) функция на участке должна удовлетворять также и условию (54), а с учетом непрерывности функции принимаем

(56)

Подставим выражение (53) для функции

в уравнение (52):

(57)

где

(58)

На основании мембранной аналогии правая часть уравнения (57) пропорциональна нагрузке на мембрану, равномерно натянутую на жесткий полукруглый контур. Это обстоятельство позволяет заключить, что функция напряжений

должна быть четной относительно координаты , поэтому будем искать ее в следующем виде:

(59)

Ссылаясь на (57), убеждаемся, что

(

поэтому подстановка выражения (59) для функции

в уравнение (57) дает

Отсюда находим, что при постоянных:

(60)

выражение (59) для функции

удовлетворяет уравнению (57).Обратимся к граничным условиям для функции Ф. Очевидно, что на прямолинейном участке контура ( ) условие (56) выполняется только при нечетных значениях

Следовательно, выражение (59) на полуокружности

контура ( принимает вид:

,

а чтобы удовлетворялось условие (55), необходимо

(61)

Для определения коэффициентов

ряда равенства (61) умножим последнее на и проинтегрируем в пределах от .

Учитывая, что

и

Находим

(62)

Тогда выражение (59) для функции напряжений

принимает

вид:

*

(63)

Определим координату

центра изгиба . Для этого предварительно вычислим момент по формуле (33), которая c учетом выражения (63) приводится к виду:

Поскольку

, то