Системы счисления (стр. 1 из 3)

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали ранее и существуют теперь, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки, которые используются при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI=5+1=6, а IV=5-1=4

Пример 3.

MCMXCVIII =1000+ (1000-100) + (-10+100) +5+1+1+1=1998

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять при наличии любого многозначного числа. Например, в числе 333первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, а третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
n=2	двоичная	0 1
n=3	троичная	0 1 2
n=8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n=16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1,…,q-1. запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формулой записи числа называется запись в виде

Здесь

– само число, q – основание системы счисления, - цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Пример 4. получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

Пример 5. получит развернутую форму чисел

, , ,

Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

Задачи

№1

Какие числа записаны с помощью римских цифр:

MMMD, IV, XIX, MCXCIVII?

№2

Запишите год, месяц и число вашего рождения с помощью римских цифр.

№3

В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки:

Звезда – тысяча рублей, колесо – сто рублей, квадрат – десять рублей,

Х – один рубль, I I I I I I I I I I – десять копеек, I – копейка.

Запишите при помощи старинной русской системы счисления сумму 3452 рубля 43 копейки.

№4

Какая сумма записана при помощи старинной русской системы счисления

Х Х Х I I I I I I I I I I I I I

№5

Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1001.

№6

В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. На рисунке приведены некоторые числа, записанные этой системе счисления:

- 4 -190

- 6 - 1900

-19

Какому числу соответствует следующая запись:

№7

Выполните действия и запишите результат римскими цифрами:

XXII-V; CV-LII; IC+XIX; MCM+VIII;

XX/V; X*IV; LXVI/XI; XXIV*VII.

№8

Какое количество обозначает цифра 8 в десятичных числах

6538, 8356, 87 и 831?

№9

Что вы можете сказать о числах 111 и I I I?

№10

Выпишите алфавит в 5-ричной, 7-ричной и 12-ричной системах счисления.

№11

Запишите первые 20 чисел натурального числового ряда в двоичной, 5-ричной, 8-ричной, 16-ричной системах счисления.

№12

Запишите в развернутом виде числа:

1)

; 2)

№13

Запишите в развернутом виде числа:

1)

; 2)

№14

Запишите в развернутой форме числа:

1)

; 2)

№15

Запишите десятичной системе счисления числа:

1)

; 2)

№16

Запишите в десятичной системе счисления числа:

1)

; 2)

№17

Запишите десятичный эквивалент числа 110101, если считать его написанным во всех системах счисления – от двоичной до девятеричной включительно.

№18

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201?

№19

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125?

№20

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 964, 1010, А219?

№21

В каких системах счисления 10 – число нечетное?

№21

В каких системах счисления справедливы неравенства:

2*2=10, 2*3=11, 3*3=13?

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.