Смекни!
smekni.com

Тригонометрические формулы 2

sin и cos суммы и разности двух аргументов

sin(a±b)=sin a·cosb±sinb·cosa

cos(a±b)=cosa·cosb`+sin a·sinb

tg a± tg b

tg (a±b) = 1±tg a· tg b

tg (a±b) =

=ctg a· ctg b`+ 1 =1±tg a· tg b

ctg b± ctg atg a± tg b

Тригонометрические функции двойногоаргумента

sin2x=2sinx cosx

cos 2x = cos2x - sin2x=

= 2cos2x-1=1-2sin2x

tg2x=2 tgx

1 - tg2x

sin 3x =3sin x - 4 sin3x

cos 3x= 4 cos3 x - 3 cos

ВАЖНО: знак перед корнем зависит от того, где нах-ся угол Ѕ x:

sin Ѕ x=±1-cosx

2

cosЅ x=±1+cosx

2

NB! Следующие формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

tgЅ x=sinx =1-cosx1-cosx

1+cosx sinx 1+cosx

сtgЅ x=sinx =1+cosx1+cosx

1-cosx sinx 1-cosx

Формулы понижения степени:

sin2 x = 1– cos 2x

2

cos2 x = 1+ cos 2x

2

sin3 x = 3 sin x – sin 3x

4

cos3 x = 3 cos x + cos 3x

4

Преобразование произведения двух функций в сумму:

2 sinx siny = cos(x-y) – cos(x+y)

2 cosx cosy = cos(x-y)+cos(x+y)

2 sinx cosy = sin(x-y) + sin (x+y)

tgx tgy =tgx + tgy

ctgx + ctgy

ctgx ctgy =ctgx + ctgy

tgx + tgy

tgx ctgy =tgx + ctgy

ctgx + tgy

NB! Вышеперечисленные формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

sinx ± siny= 2sinx±ycosx`+y

2 2

cosx + cosy =2cos x+ycosx-y

2 2

cosx - cosy = - 2sin x+ysinx-y

2 2

tgx ± tgy= sin(x±y)

cosx cosy

tgx + сtgy= cos(x-y)

cosx siny

ctgx - tgy= cos(x+y)

sinx cosy

ctgx±ctgy= sin(y±x)

sinx siny

sin x = 1 x= Ѕp+2pn, nÎ Z

sin x = 0 x= pn, nÎ Z

sin x = -1 x= -Ѕp+2pn, nÎ Z

sin x = a , [a]≤ 1

x = (-1)karcsin a + pk, kÎ Z

cosx=1 x=2pn, nÎ Z

cosx=0 x= Ѕp+pn, nÎ Z

cosx= -1 x=p+2pn, nÎ Z

cosx= -Ѕ x=±2/3 p+2pn, nÎ Z

cosx = a , [a]≤ 1

x=±arccos a + 2pn, nÎ Z

arccos(-x)=p- arccos x

arcctg(-x)= p - ctg x

tg x= 0 x= n, nÎ Z

ctg x= 0 x=Ѕp+p n, nÎ Z

tg x= a x= arctg a +pn, nÎ Z

ctg x = a x=arcctg a + pn, nÎ Z

Знаки тригонометрических функций в четвертях:

№\f(a) sin cos tg ctg
I + + + +
II + - - -
III - - + +
IY - + - +

aрад =p×a°/180°; a°=a°× 180°/p

Формулы приведения

– a p/2 ±a p±a 3/2 p±a 2p – a
sin -sin a cos a `+sin a - cos a - sin a
cos cos a `+sin a - cos a ± sin a cos a
tg - tg a `+ ctg a ± tg a `+ ctg a - tg a
ctg - ctg a `+ tg a ±ctg a `+ tg a -ctg a

Значения тригонометрических

функций основных углов:

0 30° 45° 60° 90° 180° 270°
p / 6 p /4 p /3 p /2 p 3p/2
sin 0 Ѕ Ö2 / 2 Ö3 / 2 1 0 – 1
cos 1 Ö3 / 2 Ö2 / 2 Ѕ 0 -1 0
tg 0 Ö3 / 3 1 Ö3 - 0 -
ctg Ö3 1 Ö3 / 3 0 - 0