Место аналогии в обучении математике в школе (стр. 3 из 7)

Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (1)).Докажите равенство треугольника по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§3, №38).

Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны (§3, №20 (2)).Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§3, №40).

Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче №20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу, пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2

Теорема 3 из §3В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство:1) Пусть АВС – равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту СД.2) ∆АСД=∆ВСД по катету и гипотенузе (СД – общая, АС=СВ по условию).Отсюда ÐА=ÐВ.

Задача 53 из § 6Доказать, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Доказательство:1) Пусть АВСД – равнобокая трапеция (АД=СВ). Из вершин Д и С проведем высоты ДЕ и СF. 2) ∆АДЕ=∆ВСFпо катету и гипотенузе (ДЕ=СF, так как АВ║СД; АД=СВ по условию). Отсюда ÐА=ÐВ и ÐАДЕ=ÐВСF; ÐАДС=ÐАДЕ + 90, отсюда следует, что Ð0ДСВ=ÐВСF + 90 ÐАДС=ÐДСВ

Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.

Приведем краткий список аналогичных задач на построение из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 – 10» (1985)

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (§5,№ 27).Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям (§6, №19(2)).Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (§5, № 41).

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону (§5, №31).Постройте трапецию по основаниям и диагоналям (§6,№ 66).Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон (§5, № 42).

В табл. 3 даны решения двух задач на построение, на которых удобно демонстрировать аналогию.

Таблица 3

Постройте трапецию по диагона- Постройте параллелограмм по диа-

лям , углу между ними и одному из гоналям и углу между ними (§6, № 20(2)).

оснований.

А н а л и з

Предположим, что трапеция АВСД Предположим, что параллелограмм

построена (см. рисунок). АВСД построен (см. рисунок).

Р Д С Д С

А В В₁ А В В₁

Попробуем построить сначала треугольник,

используя данные нашей задачи.

Через одну из вершин (С)

Трапеции Параллелограмма

проведем прямую, параллельную диагонали ВД, до пересечения с продолжением основания АВ. Получим треугольник АВ₁С, который можно построить по двум сторонам и углу между ними (АС – дано, С В₁ = ВД, так как В В₁СД параллелограмм, Ð АСВ₁ = Ð АОВ как соответственные углы при параллельных прямых ВД и СВ₁).

П о с т р о е н и е

Строим треугольник АС В₁ по двум сторонам и углу между ними.

От точки А на стороне АВ₁ отло- Из вершины С проведем медиану СВ.

жим отрезок, равный АВ. Через точ- через точки В и С проведем прямые,

ку С проведем прямую СР, парал- параллельные соответственно В₁С и

лельную основанию АВ; затем через АВ. Точка Д пересечения этих прямых

точку В проведем прямую, параллель- будет четвертой вершиной искомого

ную В₁С, до пересечения с прямой СР. параллелограмма АВСД.

Точка Д пересечения этих прямых

будет четвертой вершиной искомой

трапеции АВСД.

Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться возможности для применения аналогии. Она может использоваться при формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после специального обучения.

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ РОЛЬ АНАЛОГИИ В ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ

В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и его свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте.

Различные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.

Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно – концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности.

Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо создание таких учебников геометрии, в котором бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».

Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие наглядно – образного и словесно – логического мышления.

На примерах покажем, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.

П р и м е р 1. Плоскостная изопериметрическая теорема – пространственная изопериметрическая теорема.

Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения, приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос.

В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг».

Пусть S – площадь фигуры, L – длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг с радиусом rявляются изопериметрическими: L = 2pr, тогда S ≤ pr². Подставляя вместо r его выражение через L (r = L/2p), преобразуем неравенство: 4pS/L² ≤ 1.

Частное 4pS/L² зависит только от формы фигуры и не зависит от его размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении ½, то периметр станет равен 2L, а площадь - 4S, но частное S/L² , как и частное 4pS/L² , остается неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении.