Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 1 из 18)

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный экономический университет

Бобруйский филиал

Кафедра высшей математики и информатики

Ковальчук В.М.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Опорный конспект

Для студентов экономических специальностей

г. Бобруйск 2004

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события и вероятности событий

Предметом теории вероятностей является анализ явлений, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же исходам и в то же время обладающим некоторой статистической регулярностью, которая проявляется в статистической устойчивости частот исходов.

Статистическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной оценки случайности того или иного события, появляющегося в результате эксперимента. Как правило, эксперимент предпринимается для изучения некоторых свойств интересующих нас экономического процесса или явления. При этом производится построение математической модели эксперимента, которое включает описание:

· Возможных исходов;

· Класса рассматриваемых событий;

· Вероятностей наступления этих событий.

Современная теория вероятностей основана на аксиоматическом подходе Колмогорова, позволяющим охватить все классические разделы теории вероятностей и дать основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами практики.

Одной из важных сфер приложения теории вероятностей является экономика, так как при исследовании и прогнозировании экономических показателей используется эконометрика, опирающаяся на теорию вероятностей. Практическое значение вероятностных методов состоит в том, что они позволяют по известным характеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики более сложных явлений.

.

1.1.Случайные события. Вероятность.

Пространством элементарных событий называют множество W взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. Элементы W называются элементарными событиями и обозначаются w.

Событием называют любое подмножество AÍW элементов из W. Событие A произойдет, если произойдет какое-либо из элементарных событий wÎA. Пустое множество Æ называется невозможным событием.

Суммой двух событий A и B называется событие A+B(AÈB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий A или B.

Произведением двух событий A и B называется событие AB(AÇB), состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно A и B.

Противоположным событием событию A называют событие `A , состоящее из элементарных событий, не принадлежащих A.

Разностью двух событий A и B называют событие A\B, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие B.

События A и B называются несовместными , если у них нет общих элементарных событий.

Пусть F - поле событий для данного эксперимента. Вероятностью P(A) называется числовая функция, определенная на всех AÎF и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей):

1. P(A)³ 0;

2. P(W)=1;

3. Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий

таких, что при

Существует 4 способа задания вероятности:

1. Классический способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является конечным, и все элементарные события равновероятны. Тогда вероятность события определяется равенством

,

где

- число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

- общее число возможных элементарных исходов испытания.

2. Геометрический способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным, но все элементарные события, входящие в это пространство, являются равновозможными.

Если отождествлять пространство элементарных событий с некоторой замкнутой областью пространства из

, то вероятность события будет вычисляться по формуле

где

и мера области :

· Это длина ( если рассматривается пространство

· площадь (если рассматривается пространство

· объем ( если рассматривается пространство

3. Дискретный способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным счетным. Числовая неотрицательная функция Р определяется таким образом, чтобы вероятность каждого элементарного события была равна некоторому числу

,

4. Статистический способ задания вероятности

При данном способе рассматривается случайный эксперимент для которого построить пространство элементарных событий невозможно. Тогда эксперимент проводится

раз при неизменном комплексе условий протекания и подсчитывается число экспериментов, в которых появилось некоторое событие . Тогда вероятность вычисляется по формуле

На практике, при вычислениях вероятностей в классической схеме часто приходиться пользоваться формулами комбинаторики (соединений). Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных событий в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу

элементов из различных элементов исходного множества. Существуют две принципиально различные схемы выбора:

а) без возращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все

элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества);

б) с возвращением (выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательном перемешиванием исходного множества перед следующим выбором).

В результате получаются различные постановки эксперимента по выбору наудачу

элементов из общего числа и различных элементов исходного множества.

1. Перестановки. Возьмем

различных элементов , будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя лишь их порядок. Каждая из полученных таким образом комбинаций ( в том числе и первоначальная) носит название перестановки. Общее число перестановок из элементов обозначается и равно

Символ

(читается «эм факториал»). Следует отметить, что 0!=1.

2. Размещения. Будем составлять из

различных элементов множества по элементов в каждом, отличающихся либо набором элементов, либо порядком их следования. Полученные при этом комбинации элементов называются размещениями из элементов по и обозначается . Их общее число равно:

.