Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц (стр. 2 из 10)

Если k¹n, то такой вид матрицы называется трапецевидный.

Если k=n, то такой вид матрицы называется треугольный.

Если получается трапецевидная матрица в процессе элементарных преобразований, это означает что система имеет не одно решение.

Если получается треугольный вид то матрица имеет одно решение.

Если матрица Ã приведена к трапецевидному виду, то перенося все неизвестные, которые расположены правее диагонали и придавая им произвольные значения, можно найти всевозможные решения первоначальной системы.

7. Однородные системы. Условия существования нулевых решений. Понятие ранга матрицы.

Рассмотрим АХ=

, = , Х= - векторстолбец.

Эта однородная система всегда является совместной, т.к. она всегда имеет решение х=0. Решения этой системы обладают свойствами:

Если х₁ и х₂ являются решениями системы, то

так же является решением этой системы.

Говорят, что решение однородной системы образует конечномерное линейное векторное пространство.

Пусть имеется

векторов: .

Векторы

называют линейно независимыми, если из равенства следует, что все , в противном случае если векторы линейнозависимые.

Пусть матрица А имеет вид:

, , ,

Тогда систему можно записать в виде

, из равенства видно что если система не имеет не нулевых решений, то векторы являются линейнонезависимыми. Если система имеет нулевое решение, то векторы являются линейнозависимыми.

Теорема:

Для того чтобы векторы

были линейнонезависимы, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы А образованный этими элементами равнялся n. Таким образом, чтобы решить однородную систему у-ий АХ= необходимо выполнить следующие действия: вычислить ранг матрицы А, если ранг совпадает с числом неизвестных, то однородная система линейных у-ий имеет одно решение. Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных, то в матрице А можно найти S строк и S столбцов, таких, что определитель составленный из элементов лежащих на пересечении выбранных строк и столбцов не равнялся нулю.

Предположим для определённости, что определитель состоит из S строк и S столбцов отличных от нуля, тогда перенося слагаемые

в правую часть и оставляя в системе первые S уравнений, получим систему:

(3)

- свободные неизвестные (базисные неизвестные), придавая базисным неизвестным произвольные числовые значения из системы (3) можно найти , таким образом однородная система линейных у-ий может иметь одно или бесконечное множество решений, отсюда следует, что может иметь бесконечное кол-во решений или быть несовместной.

Минором k-го порядка называют определитель размерностью (k´k), выбранный из матрицы размерностью (m´n).

Если в матрице А вычёркивается строка N_i, а столбец N_j, то минор, получающийся при удалении строки и столбца называется алгебраическим дополнением.

Наивысший порядок не вырожденных миноров называют – рангом (rang(A))

9. Векторные величины. Линейные операции с векторами.

Вектор – направленный отрезок, таким образом чтобы задать вектор необходимо задать его длину и направление.

Два вектора называют равными, если они имеют одинаковую длину и направление.

Вектор называют нулевым, если длна равна нулю (он не имеет направления).

Если на плоскости введена прямоугольная система координат, то для того чтобы задать вектор надо указать начало вектора т. А и его окончание т. В., в этом случае вектор обозначается

Пусть т. А имеет координаты

, т. В

Тогда

Пусть a и b обозначают углы, которые образует вектор

с положительным направлением координатных осей. a и b - углы определяющие направление вектора , cos этих углов называются направляющими:

,

т.к. при параллельном переносе ни длина ни направление вектора не изменяется, то удобно расположить все векторы таким образом, чтобы они начинались в начале координат. В этом случае для задания вектора достаточно указать т., где он заканчивается.

Действия с векторами.

На основе полученных векторов, построим параллелограмм. Проведём диогональ АВ. Тогда

Для каждого вектора АВ не равного нулевому существует противоположный, который такой же длины но другого направления. Вектор обратный вектору АВ, обозначается (-АВ)

Разностью двух векторов А₁В₁ и А₂В₂ называют вектор

.

Вектор АВ называется произведением вектора А₁В₁ на вещественное число l и обозначается следующим образом:

а) если длина вектора АВ равна l

и вектор АВ имеет тоже направление что и вектор А₁В₁.

б) если l=0, то l

А₁В₁=0

в) если l<0, то l

А₁В₁=(-( ))

10. Скалярным произведением векторов a и b называют число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. Пусть ça çи çb ça - угол между векторами, тогда из определения следует ab = ça ç× çb çcos a. Пусть a1 – угол который образует вектор a с положительным направлением оси ОХ. a2 – угол который образует вектор b с положительным направлением оси ОХ. a=a1-a2 ab = êaê×êbêcos (a1-a2).

êa êcos a1 × êb êcos a2 + êa êsin a1 × êb êsin a2 = x1x2+y1y2. Таким образам скалярное произведение векторов a и b можно вычислить как сумму произведения их соответствующих координат. Это определение скалярного произведения эквивалентно первоначальному. Свойства векторов: 1.)ab = ba. 2.)a × 0 = 0. 3.) a(b +c) = ab + ac. 4.) (la) × (lb) = l(ab). 5.) aa = êa ê². 6.) aa ³ 0 aa = 0 Û a = 0. 7.) ab = 0 Û a ^ b. Предполагается, что нулевой вектор ^ любому вектору. Аналогичным образом определяется скалярное произведение для векторов расположенных в трехмерном пространстве свойства 1 –7 остаются неизменными.

11. Линейная зависимость и независимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

Если векторы

и являются коллинеарными, то они наклонены под одним и тем же углом положительного направления оси ОХ, значит Þ , Þ - условие коллинеарности векторов.