На языке кватернионов это можно записать так:
kг = (cosα + jэ · sinα) · k э · (cosα – jэ · sinα),
jг = jэ,
Очевидно, что направление iэ тоже должно преобразовываться аналогично:
iг = (cosα + jэ · sinα) · iэ · (cosα – jэ · sinα),
здесь буквой α обозначена половина угла поворота, α = (90° – φ)/2, чтобы короче записывать формулы.
Выполним необходимые вычисления:
iг = (cosα + jэ · sinα) · iэ · (cosα – jэ · sinα) =
cos2α· i э + sinα · cosα · jэ · iэ – cosα · sinα · iэ · jэ – sin2α · jэ · iэ · jэ =
cos2α · iэ – sin2α · kэ = sinφ · iэ – cosφ · kэ
т.к. jэ · iэ = – iэ · jэ = – kэ, jэ · iэ · jэ = – jэ2 · iэ = iэ .
Аналогично
kг = cosφ · iэ + sinφ · kэ.
Выполним подстановки, и группируя подобные слагаемые, получаем:
q = sinz · cosA · iг – sinz · sinA · jг + cosz · kг =
sinz · cosA · (sinφ · iэ – cosφ · kэ) – sinz · sinA · jэ + cosz· (cosφ · iэ + sinφ · kэ) =
(cosz · cosφ + sinz · sinφ · cosA) · iэ – sinz · sinA · jэ · (cosz · sinφ – sinz · cosφ · cosA) · kэ
С другой стороны
q = cosδ · cost · iэ – cosδ · sint jэ + sinδ · kэ.
В результате получаем формулы перехода от горизонтальной системы небесных координат к первой экваториальной системе:
cosδ· cost = cosz · cosφ+ sinz · sinφ· cosA,
cosδ· sint = sinz · sinA,
sinδ= cosz · sinφ– sinz · cosφ· cosA.
Теперь обратим эти равенства, но сначала обратим равенство
kг = (cosα + jэ · sinα) · kэ · (cosα – jэ · sinα) = QkэQ*,
здесь
Q = (cosα + jэ · sinα) = (cosα + jг · sinα), т.к. jэ = j г.
Умножим обе части равенства на сопряжённые кватернионы:
Q*kгQ = Q*QkэQ*Q = kэ.
Отсюда
kэ = (cosα – jг · sinα) · kг · (cosα + jг · sinα).
jэ = jг ,
iэ = (cosα – jг · sinα) · iг · (cosα + jг · sinα).
Здесь последнее равенство получено аналогично первому.
И далее, выполняя вычисления, аналогичные приведённым выше, получим формулы перехода от первой экваториальной системы небесных координат к горизонтальной системе:
sinz · cosA = – sinδ· cosφ+ cosδ· sinφ· cost,
sinz · sinA = cosδ· sint,
cosz = sinφ· sinδ+ cosφ· cosδ· cost.
Их рассмотренных примеров понятно, что можно не вводить понятие небесной сферы, а все задачи сферической астрономии решать с привлечением кватернионов.