с²( a²+b²) = с²( a²+b²).
Последнее выражение является верным равенством, поэтому можно сделать вывод: первоначальное предположение было верным и верна теорема.
Теорема. В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.
Следствие теоремы Пифагора и её анализ
- В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
В прямоугольной пирамиде площадь любого из катетов меньше площади гипотенузы.
- Если в прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD = h, делящая её на отрезки x и y h² = хỵ
В прямоугольной пирамиде (рис.2) аналог высоты - это треугольник СОН (СН ┴АВ). Обозначим S∆COН =Н, S∆CАН = Х, S∆CBН = У.
Тогда Н² = ¼ ОН² · ОС².
Заменим, ОН² на произведение АН и НВ, а ОС² - на sinφ ·CH² и получим
Н² = 1/2 АН² · СН1/2 НВ · СН · sin²φ.
В результате выражение принимает вид
Н² = Х · У · sin²φ.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S =1/2ab. Чтобы получить аналог этого свойства, выразим объем прямоугольной пирамиды через произведение площадей её катетов. Для удобства примем за основание пирамиды грань АОВ, тогда
V = 1/3·ab/2·c = 1/6abc = 1/6√a²b²c² = 2√2/6·√ab/2·bc/2·ac/2
V = √2/2·√ S∆AOB · S∆BOC · S∆АОС
- Аналог теоремы косинусов для прямоугольной пирамиды: в прямо-угольной пирамиде ОАВС выполняется равенство (рис.2)
S²∆AОС + S²∆ВОС = S²∆АВС + S²∆AOB - 2S²∆·S²∆AOB cos φ (4),
где φ – это двугранный угол между гранями АВС и АОВ.
Литература:
1. « Краткий справочник школьника»;
2. Глейзер Г.И. « История математики в школе» ,1982;
3. Еленьский Щ. «По следам Пифагора», 1961.
4. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11 класс», 1992.