Теория симметрии молекул (стр. 4 из 13)

Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.

Например, |C_3V|=6; |{-1}₂|=2.

Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.

Так, группа {-1}₂ является абелевой, а группа C_3V не абелева.

Теорема 2. Если две конечные группы G и G¢ изоморфны, то их порядки равны.

Теорема 3. Если G – абелева группа и G@G¢, то и G¢ - абелева группа.

Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.

Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C_3V в виде

=1; =2; =3; =4; =5; =6. Используя таблицу Кэли группы C_3V, запишем

.

Далее,

получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что

.

Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы:

, , , . Мы получили другое выражение группы C_3V: ее представление в виде группы перестановок.

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

Пусть G – группа, H – ее подгруппа.

Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.

Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egÎHg.

Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:

Hg₁+Hg₂+…+Hg_m=G(3)

Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.

Рассмотрим пример. В группе C_3V выберем подгруппу {

, }={ }₂, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент и по таблице Кэли группы C_3V найдем второй правый смежный класс { , } ={ , }. Элемент не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс { , } ={ , }. Таким образом, правостороннее разложение группы C_3V по подгруппе { }₂ имеет вид

C_3V={

, }+{ , }+{ , }. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C_3V по подгруппе {

}₂ имеет вид

C_3V={

, }+{ , }+{ , }. (5)

Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.

Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C_3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C_3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {

}, { }, { }₃={ , , } и сама C_3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство

a=x^-1bx(6)

Например, в группе C_3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем

= ^-1 = , поэтом элементы и сопряжены с помощью элемента .

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg₁, Kg₂, …, Kg_t все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg₁+ Kg₂+ …+ Kg_t=K₁+K₂+…+K_t=G, (7)

где Kg_i=K_i; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C_3V. Очевидно, что единица

сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда = . Обозначим этот класс R₁. Второй класс сопряженных элементов – это { , }, поскольку не сопряжено с и , а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть { , , }, в итоге