Смекни!
smekni.com

Проявление симметрии в различных формах материи (стр. 4 из 10)

Закон постоянства гранных углов Стенона впослед­ствии дал начало учению о морфологической симмет­рии кристаллов — основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова об особенных элементах фигуры: «Точка (пря­мая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми опе­рациями фигуры (или ее части). Особенные геомет­рические элементы существуют в фигурах в единст­венном числе». Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в класси­ческом учении о пространственной симметрии кристал­лов — также особенный геометрический элемент.

Существует несколько наименований фигур с осо­бенными точками. Чаще всего их называют конеч­ными или строже точечными фигурами, реже — фи­гурами симметрии нулевого измерения. Последние мо­гут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоско­стями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй кате­гории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, дет­ской бумажной вертушки, фигуры травления на гра­нях кристалла; примеры двусторонних розеток - ре­шетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым ри­сунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж ), снежинки, фигуры млекопитающих, ес­ли смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее «лицо» отлично от «изнанки», а у дву­сторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии.

По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построения­ми древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удач



но назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур.

Далее в изучении симметрии кри­сталлов наблюдается досадный более чем полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом пе­речне дат и фамилий выглядит так.

1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение уг­ла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита.

1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же свой­ство указал для кальцита; 1695 г. — А. Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и больших кри­сталлов); 1749 г. — М. В. Ломоносов (1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем самым начало русской кристаллогра­фии.

Лишьь в 1783 г. Роме де Лиль (1736—1790) рас­пространил закон постоянства углов на все кристаллы, проведя десятки тысяч измерении на большом числе объектов. Результаты измерений — итог всей жизни — он систематически докладывал ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми лекциями по кристаллографии. Закон постоянства углов фор­мулируется им в работе «Кристаллография» так: «Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам,но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для данного рода кристал­лов» .

В 1784—1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743—1822), тща­тельно математически переработав данные Роме де Лиля, установил другой важнейший закон геометри­ческой кристаллографии — закон целых чисел (ра­циональных отношений параметров), с которым не­посредственно связан закон целых чисел в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи формули­руется следующим образом: положение всякой гра­ни в пространстве можно определить тремя целыми числами, если за координатные оси взяты направле­ния трех ребер кристалла, а за единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих осях гранью кристалла, принятой за единичную. X. Венссом (1780—1856) в 1815 г. было предложено деление кристаллов на сингонии (сейчас они классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В итоге всех исследований были сделаны два великих открытия: открытие полных групп симметрии кристаллов — морфологической (1830 г.) и через 60 лет структурной (1890 г.). Пер­вое открытие на основе закона целых чисел сделал в 1830 г. малоизвестный при жизни марбургский профессор И. Ф. Гессель (1796—1872), геометрически доказавший, что внешняя форма кристаллов опи­сывается лишь 32 видами симметрии. Одновременно он разработал полную теорию симметрии конечных фигур и вывел бесконечное множество видов их сим­метрии. Однако эта работа осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский ученый Л. В. Гадолин (1828—1892) . Замечательно, что при жизни последнего эм­пирически было известно лишь 20 видов симметрии кри­сталлов. Результаты Гесселя—Гадолина привели к вы­воду о том, что фигуры симметрии нулевого измерения полностью описываются бесконечным числом групп (видов). Увеличение числа групп симметрии с 32 до ∞ объясняется просто: за счет учета и запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е. 5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме ∞ , порядков. Причина этого запрета стала понятна лишь после раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она связана с решетчатым рас­положением атомов, ионов и молекул, в трехмерном пространстве (О. Бравэ и др.).

История второго величайшего открытия связана с постепенной кристаллизацией понятия «кристалличе­ская решетка». Эта идея витала в воздухе. На нее исходя из разных соображений указывали многие.

Например, И. Кеплер приписывает кристал­ликам снежинок структуру, получающуюся при плот­ной укладке шариков одного диаметра. Аналогичные воззрения на структуру кристаллов каменной соли, квасцов и других веществ высказывались и Р. Гуком (1635—1703) в его «Микрографии» (Лондон, 1665). Однако Гук ограничивался рассмотрением расположе­ния шариков лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643—1724) в «Оптике» (1675 г.) также предполагал, что при образовании кристаллов частицы уста­навливаются в строй и ряды, поворачивая свои оди­наковые стороны в одинаковом направлении и застывая в правильных фигурах. Аналогичные мысли высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс (1629—1695), М. Ломоносов и многие другие.

Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на углах кристаллической решетки ставил многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X. Волластон (1766— 1828) заменил их шарами или просто математиче­скими точками: тем самым идея кристаллической ре­шетки приняла вполне современный вид. Основываясь на достигнутом, О. Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов кристаллических решеток лишь 14 . Поч­ва для вывода всех пространственных групп симмитрии кристаллов уже как бесконечных фигур была готова.

Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838—1922) в «Мемуаре о группах движений» находит 65 из них, со­держащих только собственные (незеркальные) дви­жения; Л. Зонке (1842—1897) применил эти группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех 230 прост­ранственных групп симметрии был дан почти одно­временно и независимо друг от друга Е. С. Федоро­вым в России (1890 г.) геометрически и А. Шенфлисом (1853—1928) в Германии (1891 г.) алгебраиче­ски на основе теории групп.

Открытия Федорова—Шонфлиса завершают целую эпоху в изучении симметрии в природе, и прежде всего кристаллов. Они позволили дать глубокое, исто­рически первое — кристаллографическое учение о симметрии, оказавшееся частным случаем второго, геометрического, а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии.

2. 2.2.Симметрия кристаллов.

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способсти атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово атом значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.

Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.

Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу еще и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.

Симметрия кристаллов-свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла.

В наиболее общей формулировке симметрия- неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов- теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того,что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно- периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).