Эйлеровы и гамильтоновы графы (стр. 2 из 11)
Мне бы хотелось привести здесь еще один алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе — это Алгоритм Флёри, он позволяет пронумеровать ребра исходного графа так, чтобы номер ребра указывал каким по счету это ребро войдет эйлеров цикл.
Алгоритм Флёри:
1. Начиная с любой вершины v присваиваем ребру vu номер 1. Вычеркиваем это ребро из списка ребер и переходим к вершине u.
2. Пусть w - вершина, в которую мы пришли в результате выполнения 1 шага алгоритма и k - номер, присвоенный очередному ребру на этом шаге. Выбираем произвольное ребро инцидентное вершине w, причем мост выбираем только в крайнем случае, если других возможностей выбора ребра не существует. Присваиваем ребру номер k+1 и вычеркиваем его. Процесс длится до тех пор, пока все ребра не вычеркнут.
Примечание: Мостом называется ребро, удаление которого лишает данный граф связности, т.е. увеличивает число компонент связности.
Пример:
П
риведем теперь строгое обоснование корректности алгоритма Флёри построения эйлерового цикла в данном эйлеровом графе.
Теорема 2. Пусть G(V,E) — эйлеров граф. Тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к построению эйлерова цикла графа G(V,E).
Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая при этом следующие правила:
1. Стираем ребра по мере их прохождения (вместе с изолированными вершинами, которые при этом образуются);
2. На каждом шаге идем по мосту только в том случае, когда нет других возможностей.
Доказательство.
Убедимся сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Пусть мы достигли некоторой вершины v, начав с вершины u, v ≠ u. Удалив ребра пути из v в u, видим, что оставшийся граф G1 связен и содержит ровно две нечетных вершины v и u. Согласно следствию #2 из теоремы 1 граф G1 имеет эйлеров путь P из v в u. Поскольку удаление первого ребра инцидентного u пути P либо не нарушает связности G1, либо происходит удаление вершины u и оставшийся граф G2 связен с двумя нечетными вершинами, то отсюда получаем, что описанное выше построение всегда возможно на каждом шаге. (Если v = u, то доказательство не меняется, если имеются ребра, инцидентные u). Покажем, что данная процедура приводит к эйлерову пути. Действительно, в G не может быть ребер, оставшихся не пройденными после использования последнего ребра, инцидентного u, поскольку в противном случае удаление ребра, смежного одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит условию 2).
§4. Некоторые родственные задачи
Сразу же укажем ряд вопросов, связанных с тем, имеется ли в неориентированном графе эйлеров цикл. Например,
1. Каково наименьшее число цепей или циклов необходимое для того, чтобы каждое ребро графа G содержалось точно в одной цепи или в одном цикле? Очевидно, что если G имеет эйлеров цикл или эйлерову цепь, то ответом будет число один.
2. Р
ебрам графа G приписаны положительные веса. Требуется найти цикл, проходящий через каждое ребро графа G по крайней мере один раз и такой, что для него общий вес (а именно сумма величин njc(aj), где число nj показывает, сколько раз проходилось ребро aj, а c(aj) — вес ребра) минимален. Очевидно, что если G содержит эйлеров цикл, то любой такой цикл будет оптимальным, так как каждое ребро проходится по один раз и вес этого цикла равен тогда
Сформулированная выше задача 2) называется задачей китайского почтальона, и ее решение имеет много потенциальных приложений, как например:
1. Сбор мусора. Рассмотрим проблему сбора домашнего мусора. Допустим, что определенный район города обслуживается единственной машиной. Ребра графа G представляют дороги, а вершины — пересечения дорог. Величина c(aj) — вес ребра — будет соответствовать длине дороги. Тогда проблема сбора мусора в данном районе сводится к нахождению цикла в графе G, проходящего по каждому ребру G по крайней мере один раз. Требуется найти цикл с наименьшим километражем.
2. Доставка молока или почты. Еще две задачи, когда требуется определить маршрут, проходящий хотя бы один раз по каждой из улиц, возникают при доставке молока или почты. Здесь задача состоит в нахождении маршрута, минимизирующего общий километраж (или время, стоимость и т.д.).
3. Проверка электрических, телефонных или железнодорожных линий. Проблема инспектирования распределенных систем (лишь некоторые из которых названы выше) связана с непременным требованием проверки всех «компонент». Поэтому она также является проблемой типа 2) или близка к ней.
§5. Задача китайского почтальона
Р
ассмотрим неориентированный граф G(X,A). Среди вершин из X некоторые вершины (скажем из множества X+) будут иметь четные степени, а остальные (из множества X-=X\X+) — нечетные степени. Сумма степеней di всех вершин xi
X равна удвоенному числу ребер в A (т.к. каждое ребро добавляет по единице к степеням двух его концевых вершин) и поэтому равна четному числу 2m. Следовательно, и так как первая сумма четна, то вторая сумма также четна. Но все di в последней сумме нечетны, значит число |X-| вершин нечетной степени четно.Пусть M — множество таких цепей (скажем μij) в G между концевыми вершинами xi и xj
X-, что никакие две цепи не имеют одинаковых конечных вершин, т.е. цепи соединяют различные пары вершин из X- и покрывают все вершины множества X-. Число цепей μij в M равно 1/2|X-| и всегда цело, если конечно оно определено. Предположим теперь, что все ребра, образующие цепь μij, теперь удвоены (добавлены искусственные ребра). Так поступаем с каждой цепью μij M и полученный граф обозначим через G-(M). Так как некоторые ребра из G могут входить более чем в одну цепь μij, то некоторые ребра из G-(M) могут быть (после того как добавлены все «новые» цепи μij) утроены, учетверены и т.д.Теорема 3. Для любого цикла, проходящего по G, можно выбрать множество M, для которого граф G-(M) имеет эйлеров цикл, соответствующий первоначально взятому циклу в графе G. Это соответствие таково, что если цикл проходит по ребру (xi, xj) из G l раз, то в G-(M) существует l ребер (одно реальное и l-1 искусственных) между xi и xj, каждое из которых проходится ровно один раз эйлеровым циклом из G-(M). Справедливо и обратное утверждение.
Доказательство.
Если цикл проходит по графу G, то по крайней мере одно ребро, инцидентное каждой вершине xi нечетной степени, должно проходиться дважды. (Ребро, проходимое дважды, можно рассматривать как два параллельных ребра — одно реальное и одно искусственное — и каждое из них проходится один раз). Пусть это ребро (xi, xk). В случае нечетности степени dk вершины xk графа G добавление искусственного ребра прежде всего сделает dk четным, и значит только ребро (xi,xk) нужно будет проходить дважды, если ограничиться рассмотрением лишь вершин xi и xk. В случае когда dk четно, добавление искусственного ребра сделает dk нечетным, а второе ребро выходящее из xk должно быть пройдено дважды (т.е. добавляется еще одно искусственное ребро). Такая ситуация сохраняется до тех пор, пока не встретится вершина нечетной степени, о чем говорилось выше. Следовательно, чтобы удовлетворить условию возвращения в вершину xi, нужно дважды пройти всю цепь из xi в некоторую другую вершину нечетной степени xr
X-. Это автоматически приводит к выполнению условия прохождения вершины xr. Аналогично обстоит дело для всех других вершин xi 
X-. Это значит что все множество M цепей из G, определенное выше, должно проходится дважды, и так как отсюда вытекает, что каждое ребро из G-(M) должно проходиться один раз, то теорема доказана.Алгоритм решения задачи китайского почтальона немедленно следует из доказанной теоремы, так как все, что для этого необходимо, состоит в нахождении множества цепей M* (цепного паросочетания для множества вершин нечетной степени), дающего наименьший дополнительный вес. Цикл наименьшего веса, проходящий по G, будет иметь вес, равный сумме весов всех ребер из G плюс сумма весов ребер в цепях из M*. Это то же самое, что и сумма весов всех ребер — реальных и искусственных — графа G-(M*).
Описание алгоритма решения задачи китайского почтальона:
1. Пусть [cij] — матрица весов ребер G. Используя алгоритм нахождения кратчайшей цепи, образуем |X-|*|X-| — матрицу D=[dij], где dij — вес цепи наименьшего веса, идущей из некоторой вершины xi
X- в другую вершину xj 
X-.2. Найдем то цепное паросочетание M* для множества X-, которое дает наименьший вес (в соответствии с матрицей весов D). Это можно сделать эффективно с помощью алгоритма минимального паросочетания.