По мнению разработчиков, сказанное выше является достаточным основанием для выбора профессиональной ПЭВМ в качества аппаратных средств. Это позволяет реализовать диалоговый режим реального времени, работу с цветными панелями и меню, использование звуковых эффектов и тому подобное.
Также в соответствии с требованиями к системе, изложенными выше, были выбраны и программные средства для разработки системы. Было решено проводить разработку в системе MSM Workstation 2.0 Пользовательский диалог в стиле Windows знаком многим пользователям ПЭВМ, удобен в работе , требует распространенной среды MS Windows, не требует для своей работы мощных аппаратных средств.
Более подробно требования к аппаратным средствам сформулированы ниже:
- персональная ЭВМ, совместимая с IBM PC AT с тактовой частотой процессора не ниже 40 МГц;
- наличие цветного графического адаптера VGA;
- оперативная память не менее 16 МБайт;
- наличие операционной системы MS Windows 95 и выше.
- наличие жесткого диска и дисководов для 3.5” флоппи-дисков.
3.3.2. Обоснование проектных решений
3.3.2.1. Анализ при постоянной интенсивности наращения
Модель непрерывного начисления процентов
В банковской практике — особенно при электронных методах производства и регистрации финансовых операций - проценты могут начисляться за 1 сутки или даже за несколько часов. Например, коммерческий банк, находящийся в Москве, может одолжить определенную сумму денег банку, находящемуся во Владивостоке, на 12 часов — с 20 часов сегодняшнего дня до 8 часов следующего дня по московскому времени. За счет разницы во времени Владивостокский банк может добавить эти деньги к своему фонду краткосрочных ссуд, а затем вернуть долг с определенным процентом (или долями процента) к началу работы московского банка. Очевидно, что в этом и другом аналогичных случаях возникает задача начисления процентов за очень малые промежутки времени, т.е. по существу речь идет о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.
При анализе инвестиций также возникает аналогичная задача, поскольку многие производственные и экономические процессы непрерывны по своей природе и такой же должна быть соответствующая им финансовая модель. В главах 1 и 2 мы построили несколько моделей начисления процентов при различной длине периода начисления (конверсионного периода) — от 1 дня до 1 года. Устремляя длину периода начисления к 0, построим теперь математическую модель непрерывного начисления процентов, рассмотрим способы практического применения непрерывной модели, а также сравним результаты дискретного и непрерывного начисления процентов. Для краткости иногда говорят "непрерывные проценты" , имея в виду непрерывное начисление и капитализацию процентов, т.е. бесконечно малый период начисления.
Постоянная интенсивность наращения
Примем за базовый период 1 год и обозначим целое число периодов начисления за год через т, а длину периода начисления через h = 1/т лет, m = 1,2,3,... . Тогда соответствующая положительная годовая ставка, и в силу формулы она связана с эффективной годовой ставкой.
Для простоты обозначим i — номинальная процентная ставка за один период начисления длиной h лет. Тогда из при h = m = 1 получаем
Для практики эффективную годовую ставку удобнее обозначать просто i.
Сделаем небольшое математическое пояснение. Для этого запишем коэффициент А(h) наращения эа любой период
(t, t + h) длиной h = 1/m на рассматриваемом интервале (О, T) в виде
Поскольку h мало, то различие между простыми и сложными процентами пренебрежимо мало. Так как A(0)=1, то— приращение 1 ден. ед. за малое время h (рис. 9.1, где h и т измеряются в годах).
Если А(т) дифференцируема в точке 0 справа, то
где g — угол наклона касательной к А(т) в точке т = 0.Из определения рассматриваемых ставок и результатов п. 2 § 8 следует, что если эффективная ставка i фиксирована, то номинальная ставка, при т —> и h = 1/т —> О монотонно убывает, оставаясь положительной. Поэтому существует положительное предельное значение, которое мы обозначим через: W.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел 6 номинальной ставки W при т —> называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Величину 8 можно назвать также номинальной годовой ставкой при непрерывном начислении процентов.
ТЕОРЕМА 3.1. Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением
Доказательство. В курсе "Алгебра и начала анализа" доказывается, что
е = 2,718282 ... — замечательное число Эйлера (основание натуральных логарифмов). Поэтому в нашем случае
СЛЕДСТВИЕ.Справедлива и следующая двойственная к теореме 3.1
ТЕОРЕМА 9.2. Эффективная годовая ставка d дисконтирования и номинальная годовая ставка связаны соотношением
Для доказательства достаточно перейти к пределу в (3.7) при, использовав при этом вышеприведенные формулы.Формула (3.6) и соотношение и (3.2) позволяют составить таблицу 3.21, иллюстрирующую связь для нескольких значений i от 0,01 до 2) и при малых 1 до 0,10 достаточно близки. Однако с ростом 1" различие между тремя эквивалентными ставками быстро растет.
Таблица 3.21.
| D | G | I |
| 0,00990 | 0,00995 | 0,01 |
| 0,04761 | 0,04879 | 0,05 |
| 0,09091 | 0,09531 | 0,10 |
| 0,16667 | 0,18232 | 0,20 |
| 0,20000 | 0,22314 | 0,25 |
| 0,33333 | 0,40547 | 0,50 |
| 0,42857 | 0,55962 | 0,75 |
| 0,50000 | 0,69315 | 1,00 |
Пример 3.1. Найдем наращенное за 5 лет значение суммы S(0)=10 руб., если оно реинвестируется по постоянной ставке = 25% при следующих значениях m:
а) 1 раз в год,
б) 2 раза в год,в) непрерывно.г) Вычислим g для непрерывного начисления процентов.
Пример 3.2. Найдем коэффициент наращения A(т) за т = 1 год при реинвестировании по постоянной ставке = 1 ежегодно, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно ежеминутно и непрерывно. Вычислим для каждого из случаев.
Таблица 3.22.
| Период начисления | m | A(1)=(1+1/m)m | iэф = A(1)-1 |
| ЕжегодноеЕжеквартальноеЕжемесячноеЕжедневноеЕжечасноеЕжеминутноеНепрерывное | 14123608640518400 | (1+1/1)1 =2(1+1/4)4 =2,441406(1+1/12)12 =2,613035(1+1/360)360 =2,714516(1+1/8640)8640 =2,718125(1+1/518400)51840=2,718276e=2,718282 | 11,4414061,6130351,7145161,7181251,7182761,718282 |
Функциональная связь между любыми парами из основных параметров
В зависимости от условий задачи может оказаться удобным принять один из четырех основных параметров i, v и d за исходный и выразить через него значения трех остальных. В табл. 3.3 объединены ранее полученные соотношения.
Каждая строка этой таблицы показывает, как параметр, стоящий в обозначении этой строки, выражается через три остальные. Каждый столбец таблицы показывает, как через параметр, стоящий в обозначении этого столбца, выражаются три остальные.
Приближенная связь между основными параметрами
Из теории рядов известно, что при малых х с точностью до членов третьего порядка малости включительно
Подставляя первую из этих формул в (3.4), а вторую — в (3.6) и пренебрегая членами третьего порядка, получим, что при i или не более 0,10-0,20 можно пользоваться приближенными соотношениями: Аналогичным образом из формулы для суммы бесконечного числа членов сходящейся прогрессии следует, что при малых i
Этими приближенными формулами можно пользоваться для ориентировочных расчетов. Однако в финансовой практике надо пользоваться калькулятором или таблицами даже при малых i и
Коэффициенты наращения и дисконтирования при непрерывном наращении процентов
Предположим, что в настоящий момент tо производится инвестиция в сумме S(tо) по постоянной эффективной годовой ставке i. Тогда в силу формулы (3.5) для сложных процентов наращенная к моменту t = tо + т сумма АV1 составит
где время измеряется в годах, а i и g = ln(1+i) — десятичные дроби.
Если же нам предстоит в будущий момент t > tо уплатить или получить сумму S(t), то ее современная приведенная стоимость РV в настоящий момент tо составит
Итак, нами доказана следующая важная
ТЕОРЕМА 3.3. При постоянной эффективной годовой ставке i к номинальной годовой ставке ln(1 + i) коэффициент наращения зависит лишь от длины т интервала наращения, измеренной в годах, и составляет
Коэффициент дисконтирования за т лет равен
Заметим теперь, что А(т) — коэффициент наращения 1 ден. ед. на интервале (tо, tо + т} при движении по этому интервалу слева направо, т.е. в положительном направлении.
Равенство можно интерпретировать как отрицательное наращение, совпадающее с дисконтированием, поскольку движение по интервалу (t, t + т) происходит справа налево, т.е. в отрицательном направлении. Аналогичным образом интерпретируется равенство
Следовательно, в рассматриваемом случае коэффициенты наращения и дисконтирования взаимозаменяемы и с математической точки зрения можно было бы пользоваться только одним из них. Однако для наглядности удобнее пользоваться двумя коэффициентами в соответствии с прямым содержательным смыслом каждого из них.
Таким образом, как при дискретном, так и при непрерывном начислении сложных процентов справедливо фундаментальное соотношение
В частности, при т = 1 получаем из ранее установленных соотношений
Заметим теперь, что если функцию е задать на интервале то [-;+] при т > 0 она совпадает с А(т), а при т < 0 — с v(т):
При этом А'{0) — интенсивность наращения за базовую единицу времени.