Автоматическая система регулирования промышленного кондиционера (стр. 3 из 5)

Развёрнутая схема системы с учётом запаздывания приведена в - Приложении 2.

В исходных данных, модель дана как мы видим в виде матриц передаточных функций. Для преобразования передаточных функций в пространство состояний использовалась функция матлаба tf2ss. Для проверки правильности преобразования следует найти собственные значения матрицы А с помощью функции еig и убедиться, что или все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, или число нулевых собственных значений совпадает с числом интегральных звеньев в исходной модели. Окончательно система должна быть представлена матрицами A,B,C,D

Ниже приведены матрицы модели в пространстве состояний

где х- состояние систем;

y- измеряемые входы;

f- возмущение;

u- управление.

Матрицы системы имеют вид:

A=[-1/118 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

1/26.7 -1/26.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 4/14 -2/14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 -1/1300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 4/80 -2/80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 -1/118 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 1/26.7 -1/26.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 4/-14 -2/14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 -1/118 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 1/26.7 -1/26.7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/14 -2/14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/430 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/80 -2/80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/470 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/170 -2/170 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/480 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/180 -2/180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/430 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/100 -2/100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/100 -2/100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/250 -2/250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/570 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/300 -2/300 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/450 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/150 -2/150 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/640 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/220 -2/220 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/540 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/300 -2/300 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/950 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/480 -2/480];

Матрица входа:

B=[6.5/118000;

0000;

0-6.1/130000;

0000;

006.5/1180;

0000;

0 006.5/118;

0 000;

00.4/43000;

0000;

000.3/4700;

0000;

0000.9/480;

0000;

-0.7/430000;

0000;

00.2/84000;

0000;

000.9/8000;

0000;

0000.5/570;

0000;

-0.1/450000;

0000;

00.1/64000;

0000;

000.1/5400;

0000;

0000.2/950;

0000];

Матрица измерений:

C=[0 -1 1 -1 1 0 -1 -1 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1];

3. Преобразование математической модели в дискретное время и ее проверка с помощью построения разгонных характеристик

Для преобразования математической модели в дискретное время пользуется функция матлаба с2d. Шаг дискретизации может быть выбран с учетом того, что процессы в замкнутой системе будут где-то в 10 раз быстрее, чем в объекте. Тоесть:

dt=0.01/max(abs(eig(A)));

[Ad,Bd]=c2d(A,B,dt);

Проверить найденную модель в дискретном времени следует с помощью расчета разгонных характеристик. Для этого следует используем функцию dstep. Для вывода графиков используем функции: subplot, plot, grid.

Матрицы модели в дискретном времени:

Ad =

Columns 1 through 12

0.9941 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0258 0.9741 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0025 0.1878 0.9048 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9995 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0347 0.9827 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.9941 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0258 0.9741 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -0.0025 -0.1878 0.9048 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.9941 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0258 0.9741 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0.1878 0.9048 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9984

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0347

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 13 through 24

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.9827 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.9985 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0164 0.9918 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9985 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0155 0.9923 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.9984 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0278 0.9861 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.9992 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.0278 0.9861 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9991 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0112 0.9944 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9988

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0093

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 25 through 33

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.9953 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.9984 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0186 0.9907 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9989 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0127 0.9937 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.9987 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0093 0.9953 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.9993 0

0 0 0 0 0 0 0 0.0058 0.9971

Bd =

0.0384 0 0 0

0.0005 0 0 0

0.0000 0 0 0

0 -0.0033 0 0

0 -0.0001 0 0

0 0 0.0384 0

0 0 0.0005 0

0 0 -0.0000 0

0 0 0 0.0384

0 0 0 0.0005

0 0 0 0.0000

0 0.0007 0 0

0 0.0000 0 0

0 0 0.0004 0

0 0 0.0000 0

0 0 0 0.0013

0 0 0 0.0000

-0.0011 0 0 0

-0.0000 0 0 0

0 0.0002 0 0

0 0.0000 0 0

0 0 0.0008 0

0 0 0.0000 0

0 0 0 0.0006

0 0 0 0.0000

-0.0002 0 0 0

-0.0000 0 0 0

0 0.0001 0 0

0 0.0000 0 0

0 0 0.0001 0

0 0 0.0000 0

0 0 0 0.0001

0 0 0 0.0000

Рисунок. Кривые разгона передаточных функций

Если сравнить матрицу передаточных функций и полученные разгонные характеристики(рисунок ), видно, что Кр из матрицы передаточных функций совпадают с Кр на графиках, можно сделать вывод: построение модели и преобразование выполнены верно.

4. Синтез многомерного ПИ-регулятора

Для синтеза ПИ-регулятора полученные матрицы должны быть расширены в матрицы A1, B1, C1:

A1=[Ad zeros(8,2); C eye(2)];

B1=[Bd;zeros(10)];

C1=[C eye(2)];

Матрицы параметров регулятора должны быть рассчитаны с помощью функции dlqr.

K=dlqr(A1,B1,Q,R)

L=dlqr(A1',C1',Q1,R1)'

Расширены матрицы имеют вид:

A1 =

Columns 1 through 12

0.9941 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0258 0.9741 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0025 0.1878 0.9048 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9995 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0347 0.9827 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.9941 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0258 0.9741 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -0.0025 -0.1878 0.9048 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.9941 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0258 0.9741 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0.1878 0.9048 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9984

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0347

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0 -1.0000 -1.0000 0 -1.0000 1.0000 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 13 through 24

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.9827 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.9985 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0164 0.9918 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9985 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0155 0.9923 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.9984 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0278 0.9861 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.9992 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.0278 0.9861 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9991 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0112 0.9944 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9988

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0093

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 25 through 36

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0