Знаходження значення функції за допомогою інтерполяційної формули Бесселя (стр. 2 из 3)
3. МЕТОД ЛАГРАНЖА
Нехай при х=х0, х1, ... , хnфункція f(х)приймає відповідно значення у0, у1,... , уn. Багаточлен ступеня не вище n, що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:
Рn(х)=у=
. (5)Цей багаточлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:
1. При заданій сукупності вузлових точок будова багаточлена можлива тільки єдиним способом.
2. Багаточлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).
У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:
Рn(х)=
++
++ … +
++ … +
.(6)При n=1 формула Лагранжа має вид:
Р(х) =
(7)і називається формулою лінійної інтерполяції.
При n=2 одержимо формулу квадратичної інтерполяції:
Р(х)=
. (8)Нехай функція у= f(х) задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції у визначити відповідне значення аргументу х.
Якщо вузли інтерполяції x0, x1, x2, … xnнерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти у за незалежну змінну, а х вважати функцією. Тоді отримаємо
x =
(9)Розглянемо тепер задачу зворотної інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між y0=f(x0) і y1 = f(x1).
Замінюючи функцію у=f(x) першим інтерполяційним багаточленом Ньютона, одержимо:
y = y0 + q Dy0 +
D2y0 + 
D3y0 +…+ 
Dny0 .Звідси
q =
D2y0 
– …–Dny0 
,тобто q=j(q).
Розмір q визначаємо методом послідовних наближень як границю послідовності:
q =
,де qi = j (qi–1) (i=1, 2,…).
За початкове наближення приймаємо
q0 =
(10) qi = q0 – D2y0
– …–Dny0 
. (11)На практиці ітераційний процес продовжують доти, поки не установляться значення, що відповідають необхідній точності, причому q »qm, де m – останнє зі знайдених наближень. Знайдемо q, визначаємо х по формулі
= q,звідки
х = x0 + q h.(12)
Ми застосували метод ітерації для рішення задачі зворотної інтерполяції, користуючись першою інтерполяційною формулою Ньютона. Аналогічно можна застосувати цей спосіб і до другої формули Ньютона:
y = yn + qDyn–1 +
D2yn–2 + 
D3 yn–3 + …+
Dny0 .Звідси
q =
D2yn-2 
– …–Dny0 
...Позначимо q0 =
– початкове наближення.Для i-го наближення маємо:
qi = q0–D2yn–2
– …–Dny0 
... (13)Знайдемо
q =
,визначимо х по формулі
х = xn + q h .[3], [2]
ІНТЕРПОЛЯЦІЙНА ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ
Часто використовується інтерполяційна формула Бесселя. Для виведення цієї формули скористаємось другою інтерполяційною формулою Гауса:
у скороченому вигляді:
де х=х0+qh
Візьмемо 2n+2 рівновіддалених вузлів інтерполювання
x-n, x-(n-1),..., x0,..., xn-1, xn, xn+1
з кроком h, і нехай
yi= f(xi) (i =-n,…,n+1)
- задані значення функції y= f(x). 
Якщо вибрати за початкові значення x= x0таy= y0, то, використовуючи вузли xk (k= 0, ±1, …, 
n), будемо мати:
(1)Приймемо тепер за початкові значення х=х1 і у=у1 і використаємо вузли х1+к(к=0, 1,..., n). Тоді
причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1) зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині формули (1) q на q-1 і збільшивши індекси всіх різниць на 1 , отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу
(2)Взявши середнє арифметичне формул (1) і (2), після простих перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя
(3)
де
Інтерполяційна формула Бесселя (3), як слідує з способа отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією y= f(x) в 2n+2 точках
x-n , x-(n-1),…, xn , xn+1.
В частинному випадку, при n=1, нехтуючи різницею ∆3y-1, отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю
P(x)=
Або
де
В формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник q- 
; тому при
формула (3) значно спрощується : 
Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо в формулі Бесселя (3) зробити заміну по формулі
то вона приймає більш симетричний вид
де
ЗАГАЛЬНИЙ ОПИС ПРОГРАМИ
В програмі використано кілька процедур та функцій, в яких використовуються різноманітні позначення, змінні та тому подібне. Тому далі буде дано пояснення (розшифровування) що яким символом, чи їх сукупністю позначено.
PROCEDUREvvod – процедура введення даних, тобто задання початкових умов (кількість вузлів, задаються X та відповідні їм Y, а також X, в яких потрібно знайти значення ф-ї).
PROCEDUREddd –дана процедура формує трикутну таблицю різниць значень