Иерархическое управление большими системами (стр. 3 из 5)
(4.3.23)определяя, что минимизация J в (4.3.17) для объекта (4.3.15)-(4.3.16) эквивалентна максимуму двойной функции q(a) в (4.3.21) по параметру a. Чтобы облегчить решение этой задачи, замечено, что для определенного набора этих множителей Лагранжа а=а*, Лагранжиан можно переписать в виде:
(4.3.24)который обнаруживает, что декомпозицию применяют к Лагранжиану таким образом, что, подлагранжиан Liсуществует для каждой подсистемы. Каждая подсистема будет стремиться минимизировать свой собственный подлагранжиан Li, как определенно в (4.3.24) для объекта (4.3.15) и используя множители Лагранжа a*, которые считаются известными функциями на первом уровне иерархии. Результат каждой такой минимизации позволит определить двойственную функцию q(a*) в (4.3.21). На втором уровне, на котором решение всех подсистем первого уровня известны, значение q(a*) будет изменено типичной неограниченной оптимизацией, например метод Ньютона, градиента или скоростного градиента. Градиентные методы используются потому, что градиент q(a) определяется:
(4.3.25)это ошибки взаимодействия подсистем, которые известны из решений первого уровня и
определяет градиент f по х. На втором уровне вектор a изменяется по формуле (4.3.19) и рисунку 4.6. Если применяется градиентный метод (с крутым склоном), вектор dl в (4.3.19) является просто l-й итеративной ошибкой взаимодействия el(t). Однако, для повышения точности вычислений определим скоростной градиент как: 
(4.3.26)где
(4.3.27)и d0=e0. Как только вектор ошибки e(t) достигает нуля, появляется оптимальное иерархическое управление s. Ниже дана пошаговая процедура вычисления для метода согласования цели иерархического управления.
Алгоритм 4.1. Метод согласования цели.
Шаг 1. Для каждой подсистемы первого уровня, минимизируем каждый подлагранжиан Li, используя известный множитель Лагранжа a=a*, так как подсистемы линейные, может быть использовано уравнение Риккати. Сохраним решение. (Читатели не знакомые с уравнением Риккати могут прочитать раздел 4.3.2, метод прогнозирования взаимодействия).
Шаг 2. На втором уровне используется итеративный метод скоростного градиента, похожий на (4.3.26)-(4.3.27), чтобы изменить траектории a*(t) как в (4.3.19). Как только общая ошибка взаимодействия системы будет нормализована из
(4.3.28)и будет достаточно мала, будет достигнуто оптимальное решение для системы. Здесь
– размер шага интегрирования.Два примера ниже иллюстрируют метод согласования цели или баланса взаимодействия. Первый пример, который был предложен Pearson (1971), и позже рассмотрен Singh (1980) и Jamshidi (1983), использован в изменненой форме. Второй пример показывает модель многоколенной задачи загрязнения реки (Beck, 1974; Singh, 1975). Полная оценка многоуровневых методов дана в секции 4.6, а описание нелинейных многоуровневых нелинейных систем в главе 6. Две альтернативы решения этого иерархического управления основаны на расширенных рядах Тейлора и Чебышева в разделе 4.6.
Пример 4.3.1. Рассмотрим систему 12-го порядка введенную Pearson (1971) и показанную на рис 4.7 с уравнением состояния:
(4.3.29)и квадратичной функцией оценки:
(4.3.30)с
где
Вектор выхода системы представлен как:
(4.3.31)Необходимо найти стратегию иерархического управления по методу баланса взаимодействий (согласования цели).
Решение: Из схемы системы, показанной на рисунке 4.7 (пунктирные линии) и матрицы состояния (4.3.29) ясно, что есть четыре подсистемы третьего порядка соединенных через шесть ограничивающих уравнений (по числу пунктирных линий на рис. 4.7):
(4.3.32)где ei, i=1,…,6 представляет ошибки взаимодействия между четырех подсистемами. Задачи подсистем первого уровня были решены через набор из четырех матричных уравнений Риккати третьего порядка:
(4.3.33)где Ki(t) – это положительно определенная матрица Риккати nixni и
. Методы «без взаимодействия» и «удвоения» решают дифференциальное матричное уравнение Риккати, предложены Davison и Maki в 1973 и рассмотрены Jamshidi в 1980,были использованы для компьютерного решения (4.3.33). Уравнения состояния подсистем были решены стандартным методом Рунге-Кутта четвертого порядка, а итерации второго уровня были выполнены по схеме скоростного градиента (4.3.19), (4.3.26)-(4.3.27), используя кубическую сплайн интерполяцию (Hewlett-Packard, 1979) для оценки подходящих численных интегралов. Размер шага был выбран 
=0.1, как и в более ранних рассмотрениях этого примера (Pearson, 1971; Singh, 1980). Алгоритм скоростного градиента позволил уменьшить ошибку с 1 до 
за шесть итераций, как показано на рисунке 4.8, который был в тесной связи с результатами предыдущих исследований модифицированной версии системы (4.3.29), полученными Singh (1980). Рассмотрим второй пример.Пример 4.3.2. Рассмотрим двухколенную модель задачи управления загрязнением реки.
(4.3.34)где каждое колено (подсистема) реки имеет два состояния – x1 – это концентрация биохимической потребности в кислороде (БПК) (биохимическая потребность в кислороде представляет собой уровень содержания кислорода полученного в результате распада органического вещества) и х2 – это концентрация растворенного кислорода (РК) – и управление u1 – это БПК вод втекающих в реку. Для квадратичной функции оценки
(4.3.35)С Q=diag(2,4,2,4) и R=diag(2,2), необходимо найти оптимальное управление, которое оптимизирует (4.3.35) для объекта (4.3.34) при x(0)=(11 -11)T.
Решение: Как видно из (4.3.34)-(4.3.35), две задачи первого уровня идентичны, и матричное уравнение Риккати второго порядка решается интегрированием (4.3.33) используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка при
=0.1. Ошибка взаимодействия в этом примере снижена до 
за 15 итераций, как показано на рисунке 4.9. Оптимальные концентрации БПК и РК двух колен реки показаны на рисунке 4.10.4.3.2. Метод прогнозирования взаимодействия.
Альтернативный подход к оптимальному управлению иерархическими системами, который имеет как открытый, так и закрытый контур управления, - это метод прогнозирования взаимодействия, который основывается на работе Takahara (1965), который избегает упоминания о градиентных итерациях второго уровня. Рассмотрим большую линейную взаимосвязанную систему, которая декомпозирована на Nподсистем, каждая из которых может быть описана
(4.3.36)Где вектор взаимодействия zi:
(4.3.37)Задача оптимального управления на первом уровне – найти управление ui(t), которое удовлетворяет (4.3.36)-(4.3.37), минимизируя обычную квадратичную функцию оценки:
(4.3.38)Эту задачу можно решить введением множества множителей Лагранжа ai(t), и векторов косостояния pi(t), чтобы увеличить ограничение уравнения взаимодействия (4.3.37) и подсистем динамического ограничения (4.3.36) до подынтегральной функции оценки, т.е. Гамильтониан i-й подсистемы будет определен как:
(4.3.39)Затем должно быть написано несколько необходимых условий:
(4.3.40) 
(4.3.41) 
(4.3.42) 
(4.3.43)где векторы ai(t) и zi(t) – уже не считаются неизвестными на первом уровне, и фактически ai(t) увеличивает zi(t), чтобы образовать широкоразмерный вектор согласования, который мы рассмотрим ниже. Для решения задачи первого уровня, надо принять
как известную. Замете, что ui(t) можно выделить из (4.3.43):