Исследование линейных систем (стр. 4 из 5)

– замкнутая система будет находиться на границе устойчивости (k=k_кр);

– замкнутая система будет неустойчива (k=k_ну);

– замкнутая система будет устойчива (k=k_у) с запасом по модулю не менее 10 дБ.

Проверить соответствие значений коэффициента, рассчитанных при подготовке и по результатам компьютерного моделирования.

– проверить значения запасов устойчивости по модулю, используя ЛЧХ разомкнутой системы, оценить состояние замкнутой системы;

– проанализировать взаимное расположение АФХ разомкнутой системы и точки (-1, j0) на комплексной плоскости, определить количество переходов расширенной АФХ разомкнутой системы, сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии;

– проанализировать расположение полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости, сделать вывод о ее устойчивости;

– проверить состояние замкнутой системы по ее переходной характеристике.

Эксперимент по изучению устойчивости рассматриваемой системы считается завершенным только в случае непротиворечивости всех полученных результатов.

Сохранить в файл совмещенные ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы при k=1, также сохранить все частотные характеристики разомкнутой системы, переходный процесс в замкнутой системе и ее собственные значения при k= k_кр, k_ну, k_у (т.е. всего 1+

рисунка + 3 текстовых блока для рассматриваемой системы). Наличие сетки на графиках обязательно. На ЛАЧХ должны быть отмечены сопрягающие частоты и ее наклон на каждом из участков. На АФХ должна присутствовать оцифровка.

Повторить пп. 3.3.2 – 3.3.4 для систем №2 и 3.

Содержание отчета

Исходные данные лабораторной работы: название работы, цель работы, перечень ПФ исследуемых систем с указанием значений параметров, соответствующих номеру варианта.

Подготовительная часть, оформленная в соответствии с требованиями п. 3.2.

Результаты компьютерного моделирования, оформленные в соответствии с требованиями п. 3.3.4.

Анализ полученных результатов – на основании выводов, сделанных в пп. 3.3.2 и 3.3.3.

Текст файла-сценария с указанием в комментариях номера группы, состава бригады и даты проведения работы.

Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.

4. Модальный синтез управления в линейных непрерывных системах

Цель работы

Данная лабораторная работа предназначена для первого практического ознакомления с применением модального метода для синтеза управления. Ее целью является исследование взаимосвязи между расположением собственных чисел и качеством процессов и выработка обоснованного подхода к выбору желаемых полюсов системы при осуществлении модального синтеза.

В качестве неизменяемой части системы следует принять одну из систем, заданную передаточной функцией в работе №3, с теми же значениями параметров (номер системы выбирается из табл. 4.1 согласно варианту).

Таблица 4.1 Выбор исследуемой системы (см. также табл. 3.1)

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер системы	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1
Номер варианта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Номер системы	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2

Подготовительная часть

Выполнение работы

%Модальный синтез управлениЯ в линейных непрерывных системах

%Система #1

%Вывод информации – в командное и графические окна

%Очистка всех переменных в памЯти

clear all

%Очистка командного окна

clc

%Закрытие всех предыдущих рисунков

set (0,'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get(0,'Children'))

%Установка параметров моделированиЯ для mdl‑файла

h_max = 0.01;%максимальный шаг моделированиЯ

t_end = 20; %времЯ завершениЯ моделированиЯ

%задание переменной преобразованиЯ Лапласа длЯ последующего описаниЯ

%системы в виде передаточной функции

p = tf('p');

%Параметры системы #1 длЯ варианта #20

T1_s1 = 4;

T2_s1 = 1;

T3_s1 = 48;

%Описание разомкнутой системы через передаточную функцию

disp ('ПередаточнаЯ функциЯ системы #1 в разомкнутом состоЯнии');

disp([' ' num2str (T1_s1) '*p+1'])

disp ('–');

disp([' (' num2str (T2_s1) '*p+1)*(' num2str (T3_s1) '*p‑1)*p']);

R_s1 = T1_s1*p+1;

Q_s1 = (T2_s1*p+1)*(T3_s1*p‑1)*p;

W_s1_r = R_s1/Q_s1

%Преобразование описаниЯ в ss‑форму (получение описаниЯ через матрицы % A, B, C, D)

sys1_r = ss (W_s1_r);

[A_s1_r, B_s1_r, C_s1_r, D_s1_r] = ssdata (sys1_r);

disp ('Матрицы A, B, C, D разомкнутой системы');

A_s1_r

B_s1_r

C_s1_r

D_s1_r

%Вычисление нулей и полюсов ПФ разомкнутой системы

[zeros_s1_r, poles_s1_r, koef_s1_r] = zpkdata (zpk(W_s1_r), 'v');

disp ('Нули и полюсы ПФ разомкнутой системы');

zeros_s1_r

poles_s1_r

%Проверка правильности вычислениЯ матрицы динамики при домашней подготовке

%путем вычислениЯ ее собственных чисел и сравнениЯ их c poles_s1_r

disp ('Cобств. числа матрицы динамики разомк. сис-мы (из домашней подготовки)');

poles_s1_r_dp = eig([-47/48 1/48 0; 1 0 0; 0 1 0])

%Желаемые полюсы замкнутой системы (задаютсЯ после анализа расположениЯ

%полюсов разомкнутой системы)

disp ('Желаемые полюсы замкнутой системы');

poles_s1_z_g = [-2+2*j; -2–2*j; -0.25]

%Расчет матрицы обратных свЯзей L, реализующей желаемое расположение

%полюсовзамк. сис.

[L_s1, PREC_s1, MESSAGE_s1] = PLACE (A_s1_r, B_s1_r, poles_s1_z_g);

disp ('Матрица обратных свЯзей');

L_s1

%Матрица динамики замкнутой системы

A_s1_z = A_s1_r-B_s1_r*L_s1;

%Матрицы B, C, D замкнутой системы

B_s1_z = B_s1_r;

C_s1_z = C_s1_r;

D_s1_z = D_s1_r;

%Описание замкнутой системы в ss‑форме

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

%Расчет коэффициента усилениЯ по командному сигналу (должен обеспечивать

%единичную статику)

W_s1_z = tf (sys1_z);

[num_s1, den_s1] = tfdata (W_s1_z, 'v');

disp ('Коэффициент усилениЯ по командному сигналу');

%Вычисление коэффициента усилениЯ по командному сигналу

%как отношениЯ свободных членов полиномов знаменателЯ и числителЯ,

%передаточной функции замкнутой системы, т.е. последних элементов

%в векторах коэффициентов знаменателЯ и числителЯ

Kv_s1 = den_s1 (length(den_s1))/num_s1 (length(num_s1))

%Описание итоговой замкнутой системы в ss‑форме

B_s1_z = Kv_s1*B_s1_r;

sys1_z = ss (A_s1_z, B_s1_z, C_s1_z, D_s1_z);

%Фактические собственные числа итоговой замкнутой системы

%(сравнить с заказанными)

[zeros_s1_z_f, poles_s1_z_f, koef_s1_z_f] = zpkdata (zpk(sys1_z), 'v');

disp ('Нули и полюсы замкнутой системы с синтезированным управлением');

zeros_s1_z_f

poles_s1_z_f

%Рисунок, отображающий расположение нулей и полюсов до и после

%замыканиЯобратныхсвЯзей

figure

plot (real(poles_s1_r), imag (poles_s1_r), 'rs', real (zeros_s1_r), imag (zeros_s1_r), 'ro')

hold on

plot (real(poles_s1_z_f), imag (poles_s1_z_f), 'bs', real (zeros_s1_z_f),…

imag (zeros_s1_z_f), 'bo', 'MarkerSize', 14)

grid on

title ('Расположение нулей и полюсов до и после замыканиЯ обратных свЯзей')

xlabel ('real(z)');

ylabel ('imag(z)');

legend ('poles of sys1 (razomk)', 'zeros of sys1 (razomk)',…

'poles of sys1 (zamkn)', 'zeros of sys1 (zamkn)', 0);

%переходный процесс в замкнутой системе c синтезированным управлением

ltiview({'step'}, sys1_z, t_end);

grid on

%вызовмодели

open_system ('sys1_mod.mdl');

%запуск моделированиЯ

sim('sys1_mod');

Назначение всех использованных при создании данной программы функций Matlab приводится в приложении.

Как следует из текста вышеприведенного файла, процедура модального синтеза управления предполагает выполнение следующих шагов:

– описание объекта (ввод исходных данных);

– преобразование описания объекта к ss‑форме и нахождение матриц A, B, C, D;

– вычисление нулей и полюсов ПФ разомкнутой системы;

– анализ расположения нулей и полюсов разомкнутой системы и назначение желаемых полюсов замкнутой системы;

– расчет матрицы обратных связей, реализующей желаемое расположение полюсов замкнутой системы;

– вычисление передаточной функции полученной замкнутой системы и коэффициента усиления по командному сигналу

(т.е. как отношения свободных членов полиномов знаменателя и числителя передаточной функции замкнутой системы).

Результаты вычислений на каждом из этапов выводятся в командное окно.

Также в программе предусмотрено проведение ряда проверок (с использованием данных из командного окна): сравнение собственных чисел матрицы динамики разомкнутой системы, полученной в ходе предварительной подготовки, с собственными числами разомкнутой системы, рассчитанными в Matlab; проверка правильности работы процедуры расчета матрицы обратных связей – вычисление фактических значений полюсов полученной замкнутой системы и сравнение их со значениями желаемых полюсов.

Кроме того, по завершении процедуры модального синтеза будет выведено графическое окно с расположением нулей и полюсов системы на комплексной плоскости до и после замыкания обратных связей, построен график переходного процесса для замкнутой системы и запущена модель Simulink, содержащая структурную схему замкнутой системы.

Рис. 4.1. Структурная схема замкнутой системы в Simulink

а б

Рис. 4.2. Настройка параметров: а – моделирования; б – в блоке State-Space

В тексте описанного выше файла-сценария скорректировать исходные данные в соответствии с номером варианта, задать матрицу динамики, рассчитанную при домашней подготовке, и задать некоторое желаемое расположение полюсов замкнутой системы. Скорректировать описание объекта в блоке State-Space модели, если это необходимо. Запустить программу на выполнение, после чего проверить правильность предварительных расчетов и корректность работы встроенной в Matlab процедуры расчета матрицы обратных связей place. Убедиться в правильности описания замкнутой системы при помощи структурной схемы в Simulink, сравнив переходный процесс в графическом окне и на экране осциллографа. В случае отсутствия ошибок сохранить полученные файл-сценарий и структурную схему в файл.