Обработка информации и принятие решения в системах ближней локации (стр. 2 из 6)
Плотность показательного распределения отлична от нуля только для неотрицательных значений х. В нуле она принимает максимальное значение, равное a. С ростом х она убывает, оставаясь вогнутой и асимптотически приближаясь к 0. Выражение для плотности показательного распределения:
(6)а для функции распределения:
(7)Показательно распределение является однопараметрическим: функция и плотность его зависят от одного параметра a.
Обратите внимание: в MATLAB параметр показательного распределения – это величина, обратная a в формулах (6 – 7).
Плотность равномерного распределения отлична от нуля только в заданном интервале [a, b], и принимает в этом интервале постоянное значение:
(8)Функция равномерного распределения левее точки а равна нулю, правее b – единице, а в интервале [a, b] изменяется по линейному закону:
(9)Равномерное распределение – двухпараметрическое, т. к. в выражения для F(x) и f(x) входят 2 параметра: а и b. По равномерному закону распределены ошибка округления и фаза случайных колебаний. В MATLAB плотность и функция равномерного распределения могут быть посчитаны с помощью функций unifpdf и unifcdf, а также с помощью функций pdf и cdf с первым параметром ‘unif’.
Плотность рэлеевского распределения отлична от нуля только для неотрицательных значений х. От нуля она выпуклая и возрастает дол некоторого максимального значения. Далее с ростом х она убывает, оставаясь выпуклой. Затем становится вогнутой, продолжая убывать, и асимптотически приближается к 0. Выражение для плотности рэлеевского распределения имеет вид:
(10)Функция рэлеевского распределения:
(11)Это распределение однопараметрическое: оно зависит от одного параметра s. По рэлеевскому закону распределено расстояние от точки попадания в мишень до ее центра. Вычисление плотности и функции рэлеевского распределения в MATLAB реализовано с помощью функций raylpdf,raylcdfили функцийpdf,cdfс превым параметром ‘rayl ‘.
Практическая часть.
tdistr={'norm', 'exp', 'unif', 'rayl'};% названия
pardistr=[[2 1]; [2,0]; [0 4]; [1 0]];% параметры
ndistr=length(tdistr);% количество распределений
xpl=[-1:0.01:5]';% абсциссы для графиков
foridistr=1:ndistr, % заполняем и строим графики
ypdf=pdf (tdistr{idistr}, xpl,…
pardistr (idistr, 1), pardistr (idistr, 2));% ординаты
figure% новая фигура
plot (xpl, ypdf);% рисуем
set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…
'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)
title(['\bfПлотность распределения ' tdistr{idistr}])
end;
Рисунок 5 – плотность распределения амплитуды сигнала по нормальному закону
Рисунок 6 – плотность распределения амплитуды сигнала по экспоненциальному закону
Рисунок 7 – равномерная плотность распределения амплитуды сигнала
Рисунок 8 – плотность распределения амплитуды сигнала по Релеевскому закону
На практике могут встретиться и другие виды распределений (b, c2, логнормальное, Вейбулла и т.д.). Многие из них реализованы в MATLAB, но иногда приходится писать свои функции.
Графики некоторых плотностей распределения похожи между собой, поэтому иногда вид гистограммы позволяет выбрать сразу несколько законов. Если есть какие-либо теоретические соображения предпочесть одно распределение другому, можно их использовать. Если нет – нужно проверить все подходящие законы, а затем выбрать тот, для которого критерии согласия дают лучшие результаты.
1.3 Оценка параметров распределения случайных величин для четырех законов
В выражениях для плотности и функции нормального распределения (4 – 5) параметры m и s являются математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением. Поэтому, если мы остановились на нормальном распределении, то берем их равными, соответственно, выборочным математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению:
. (12)Математическое ожидание показательного распределения есть величина, обратная его параметру a. Поэтому, если мы выбрали показательное распределение, параметр a находим:
(13)Из выражений для mx и sx равномерного закона распределения находим его параметры a и b:
; 
. (14)Параметр s рэлеевского распределения также находится из выражения для mx
(15)В системе MATLAB вычисление параметров теоретического распределения с помощью ПМП реализовано в функциях fit или mle. Подбор по методу моментов не реализован. Найдем параметры теоретического распределения по ПМП и методу моментов.
Практическая часть.
s={'нормальное распределение'; 'показательное распределение';…
'равномерное распределение'; 'Рэлеевское распределение'};
disp('Параметры по ПМП:')
[mx, sx]=normfit(x);% параметры нормального распределения
lam=1/expfit(x);% параметр показательного распределения
[a, b]=unifit(x);% параметры равномерного распределения
sig=raylfit(x);% параметр Рэлеевского распределения
fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)
fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)
fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)
fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)
Длясигналагусеничнойтехники:
Параметры по ПМП:
нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706
показательное распределение: alpha= 166.5608494
равномерное распределение: a= -0.0962308; b= 0.0942564
Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150166
Для фонового сигнала:
Параметры по ПМП:
нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663
показательное распределение: alpha= 53.0224920
равномерное распределение: a= 0.0106122; b= 0.0210241
Рэлеевское распределение: sigma= 0.0133420
disp('Параметры по методу моментов:')
mx=Mx;
sx=Sx;% параметры нормального распределения
lam=abs(1/Mx);% параметр показательного распределения
a=Mx-Sx*3^0.5;
b=Mx+Sx*3^0.5;% параметры равномерного распределения
sig=abs(Mx)*(2/pi)^0.5;% параметр Рэлеевского распределения
fprintf([' % s: m=%12.7f; sigma=%12.7f\n'], s{1}, mx, sx)
fprintf (' % s: alpha=%12.7f\n', s{2}, lam)
fprintf (' % s: a=%12.7f; b=%12.7f\n', s{3}, a, b)
fprintf (' % s: sigma=%12.7f\n', s{4}, sig)
Длясигналагусеничнойтехники:
Параметры по методу моментов:
нормальное распределение: m= 0.0060038; sigma= 0.0203706
показательное распределение: alpha= 166.5608494
равномерное распределение: a= -0.0292791; b= 0.0412867
Рэлеевское распределение: sigma= 0.0047903
Для фонового сигнала:
Параметры по методу моментов:
нормальное распределение: m= 0.0188599; sigma= 0.0005663
показательное распределение: alpha= 53.0224920
равномерное распределение: a= 0.0178790; b= 0.0198409
Рэлеевское распределение: sigma= 0.0150480
Вывод: из результатов, полученных двумя методами видно, что оценки плотностей распределения вероятностей для равномерного и рэлеевского законов по первому методу отличаются от плотностей распределения вероятностей по второму методу.
Оценки показательных и нормальных законов плотностей распределения вероятностей по обоим методам практически совпадают.
1.4 Построение на одном графике теоретического и практического распределения для формулировки гипотезы
Построим на одном графике теоретическую и эмпирическую плотности распределения вероятности. Эмпирическая плотность распределения – это гистограмма, у которой масштаб по оси ординат изменен таким образом, чтобы площадь под кривой стала равна единице. Для этого все значения в интервалах необходимо разделить на nh, где n – объем выборки, h – ширина интервала при построении гистограммы. Теоретическую плотность распределения вероятности строим по одному из выражений (4), (6), (8), (10), параметры для них уже вычислены. Эмпирическую плотность распределения нарисуем красной линией, а предполагаемую теоретическую – линией одного из цветов: синего, зеленого, сиреневого или черного.
Практическая часть.
[nj, xm]=hist(x, k);% число попаданий и середины интервалов
delta=xm(2) – xm(1);% ширина интервала
clearxfvfvxftft% очистили массивы для f(x)
xfv=[xm-delta/2; xm+delta/2];% абсциссы для эмпирической f(x)
xfv=reshape(xfv, prod(size(xfv)), 1);% преобразовали в столбец
xfv=[xl; xfv(1); xfv; xfv(end); xr];% добавили крайние
fv=nj/(n*delta);% значения эмпирической f(x) в виде 1 строки
fv=[fv; fv];% 2 строки
fv=[0; 0; reshape(fv, prod(size(fv)), 1); 0; 0];% + крайние, 1 столбец
xft=linspace(xl, xr, 1000)';% абсциссы для теоретической f(x)
ft=[normpdf (xft, mx, sx), exppdf (xft, 1/lam),…