Разработка программы решения системы линейных уравнений (стр. 3 из 3)
Интервальный тип - это подмножество другого уже определенного ординального типа, называемого базовым. Интервал можно задать в разделе типов указанием наименьшего и наибольшего значений, входящих в него и разделяющихся двумя последовательными точками, например:
Type days = (mon, tue, wed, thu, fri, sat, sun);
Workdays= mon. fri;
Index=1. .30;
Операции и функции - те же, что и для базового типа. Использование интервальных типов в программе позволяет экономить память и проводить во время выполнения программы контроль присваивания.
Естественно и часто очень удобно группировать однотипные данные в последовательности - массивы, строки символов, объединять разнотипные данные в одном и том же объекте в виде записей. Значительное удобство представляются пользователю в Паскале при организации однотипных величин в виде множества с соответствующим набором операций: объединения, пересечения и т.д. Последовательность однотипных величин переменной длины можно представить в Паскале в виде файла данных и хранить на внешних носителях, используя его в разных программах.
Массив -это последовательность, состоящая из фиксированного числа однотипных элементов. Все элементы массива имеют общее имя и различаются индексами. Индексы можно вычислять, их тип должен быть ординальным. В описании массива используются служебные слова array и of. В описании массива указывается тип его элементов и типы их индексов.
2.4 Процедуры и функции
В Паскале подпрограммы называются процедурами и функциями и описываются в разделе с тем же названием.
Все имена, описанные в программе до процедуры, действуют во всей программе и в любой ее подпрограмме. Они называются глобальными, в отличии от локальных имен, описанных в процедуре и действующих лишь в ней.
Данные для обработки могут передаваться процедуре через глобальные имена или через аргументы процедуры. В процедуре каждый аргумент имеет свое имя - формальный параметр, описываемый в заголовке процедуры по схеме
Procedure < имя > (<список формальных параметров >)
Описание формальных параметров может иметь вид
<список имен >: < тип> или var < список имен>: < тип>
Оператор вызова процедуры имеет вид
< имя процедуры> (< список выражений>);
Указанные выражения называются фактическими параметрами. Их список должен точно соответствовать списку описаний формальных параметров процедуры. Во время вызова процедуры каждому параметру-значению присваивается значение соответствующего фактического параметра и поэтому их используют для передачи входных данных. Параметры - переменные используются для представления результатов процедуры.
Функция - это подпрограмма, определяющая единственное скалярное, вещественное или строковое значение. Отличия подпрограммы - функции от процедуры:
заголовок функции начинается со служебного слова function и заканчивается указанием типа значения функции:
function < имя> (список описаний формальных параметров): < тип>;
раздел операторов функции должен содержать хотя бы один оператор присваивания имени функции;
обращение к функции - не оператор, а выражение вида:
< имя функции> (< список фактических параметров>)
3. Описание программы
3.1 Работа программы
Для решения систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом создана программа на языке Паскаль. Программа запрашивает исходные данные (рис.1):
матрицу коэффициентов при неизвестных х;
столбец свободных членов
способ решения системы линейных уравнений - вариант 1 или 2.
Рисунок 3.1 Ввод исходных данных
В зависимости от выбранного вариант в программе происходит решение системы уравнений методом Гаусса (рис.2) или матричным методом (рис.3) с выдачей на экран результатов:
Рисунок 3.2 Результаты расчетов системы линейных уравнений методом Гаусса.
Рисунок 3.3 Результаты расчетов системы линейных уравнений матричным методом.
Программа состоит из 7 подпрограмм - 6 процедур и одной функции:
процедура Gauss обеспечивает решение системы линейных уравнений по методу Гаусса;
процедура matrica обеспечивает решение системы линейных уравнений матричным методом;
процедура PrintMatr2 предназначена для выдачи на экран исходной и обратной матрицы;
процедура MultString предназначена для умножения строк матрицы на число r;
процедура AddStrings прибавляет к i1-ой строке матрицы i2-ю, умноженную на число r;
процедура MultMatr предназначена для умножения матриц.
Функция Sign используется для изменения знака на противоположный при вычислении обратной матрицы.
Программа настроена на решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы решить систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными необходимо в программе изменить значение константы N с N=3 на N =2 (рис.4).
Рисунок 3.4. Фрагмент программы с описанием констант и переменных.
3.2 Блок-схема программы
 |
Заключение
| |
В данной курсовой работе рассмотрены математические методы решения систем линейных уравнений: матричный метод и метод Гаусса, приводятся основные конструкции языка Паскаль. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Паскале для решения систем линейных уравнений. В курсовой работе приводится текст данной программы, рассматривается структура программы, анализируются все подпрограммы. Данная программа может быть использована в различных областях, где требуется решение систем линейных уравнений.
Список используемых источников и литературы
1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер "Информатика", Москва, ACADEMA, 2000 г.
2. "Турбо Паскаль 7.0", Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997г.
3. С.А. Немнюгин, "Турбо ПАСКАЛЬ", Практикум, Питер, 2002г.
Приложение
Текст программы
"Решение систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса"
Program Lin_yravneniya;
uses crt;
const N=3;
eps=0.00001; { all numbers less than eps are equal 0 }
type matr=array [1. n,1. n] of real;
mas=array [1. n] of real;
var
i,j: integer;
b,x: mas;
variant: byte;
a,c: matr;
dt: real;
imx,np: integer;
{*** печать исходной и обратной матрицы*** }
procedure PrintMatr2 (m,m1: matr; n,nz,nd: integer);
var i,j: integer;
begin
for i: =1 to n do
begin
if (i=1) then write (np: 2,': ')
else write (' ');
for j: =1 to n do
write (m [i,j]: nz: nd); write (' ');
for j: =1 to n do
write (m1 [i,j]: nz: nd);
writeln;
end;
inc (np);
end;
procedure MultString (var a,b: matr; i1: integer; r: real);
var j: integer;
begin
for j: =1 to n do
begin
a [i1,j]: =a [i1,j] *r;
b [i1,j]: =b [i1,j] *r;
end;
end;
procedure AddStrings (var а,b: matr; i1, i2: integer; r: real);
{ процедура прибавляет к i1 строке матрицы а i2-ю умноженную на r}
var j: integer;
begin
for j: =1 to n do
begin
a [i1,j]: =a [i1,j] +r*a [i2,j] ;
b [i1,j]: =b [i1,j] +r*b [i2,j] ;
end;
end;
procedure MultMatr (a,b: matr; var c: matr);
var i,j,k: byte;
s: real;
begin
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
begin
s: =0;
for k: =1 to n do
s: =s+a [i,k] *b [k,j] ;
c [i,j]: =s;
end;
end;
function sign (r: real): shortint;
begin
if (r>=0) then sign: =1 else sign: =-1;
end;
{***************************************************}
{** вычеркивание из матрицы строки и столбца **}
procedure GetMatr (a: matr; var b: matr; m, i,j: integer);
var ki,kj,di,dj: integer;
begin
di: =0;
for ki: =1 to m-1 do
begin
if (ki=i) then di: =1;
dj: =0;
for kj: =1 to m-1 do
begin
if (kj=j) then dj: =1;
b [ki,kj]: =a [ki+di,kj+dj] ;
end;
end;
end;
{*** метод Гаусса *******}
procedure gauss (a: matr; b: mas; var x: mas; n: integer);
Var k: byte;
m, s: real;
begin
{ приведение к треугольному виду}
For k: =1 to N-1 do
For i: =k+1 to n do
begin
m: =a [i,k] /a [k,k] ;
a [i,k]: =0;
For j: =k+1 to N do
a [i,j]: =a [i,j] -m*a [k,j] ;
b [i]: =b [i] -m*b [k] ;
end;
{расчет неизвестных х в обратном порядке}
x [n]: =b [n] /a [n,n] ;
writeln;
writeln ('Вывод результатов решения системы уравнений методом Гаусса');
writeln ('x [',n,'] =',x [n]: 6: 2);
for i: = (n-1) downto 1 do
begin s: =0;
For j: =i+1 to n do
s: =s-a [i,j] *x [j] ;
x [i]: = (b [i] +s) /a [i, i] ;
writeln ('x [', i,'] =',x [i]: 6: 2);
end;
end;
{*** матричный способ ***}
procedure matrica (a: matr; y: mas; n: integer);
var z,a0: matr;
imx,np: integer;
s: mas;
begin
for i: =1 to n do
begin
for j: =1 to n do z [i,j]: =0;
z [i, i]: =1;
end;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
a0 [i,j]: =a [i,j] ;
for i: =1 to n do
begin
{ к i-ой строке прибавляем (или вычитаем) j-ую строку
взятую со знаком i-того элемента j-ой строки. Таким образом,
на месте элементова a [i, i] возникает сумма модулей элементов i-того
столбца (ниже i-ой строки) взятая со знаком бывшего элемента a [i, i],
равенство нулю которой говорит о несуществовании обратной матрицы }
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z, i,j,sign (a [i, i]) *sign (a [j, i]));
{ PrintMatr (a,b,n,6,1); }
{ прямой ход }
if (abs (a [i, i]) >eps) then
begin
MultString (a,z, i,1/a [i, i]);
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
{ PrintMatr (a,b,n,6,1); }
end
else
begin
writeln ('Обратной матрицы не существует. ');
halt;
end
end;
{обратный ход: '); }
if (a [n,n] >eps) then
begin
for i: =n downto 1 do
for j: =1 to i-1 do
begin
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
end;
{ PrintMatr (a,b,n,8,4); }
end
else writeln ('Обратной матрицы не существует. ');
MultMatr (a0,z,a);
writeln ('Начальная матрица, обратная к ней матрица: ');
PrintMatr2 (a0,z,n,7,3);
{** умножение обратной матрицы на столбец свободных членов **}
for i: =1 to n do s [i]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
s [i]: =s [i] +z [i,j] *y [j] ;
writeln ('Вывод результатов решения системы уравненй матричным способом');
for i: =1 to n do write (' ', s [i]: 5: 2);
end;
begin {***** тело программы ******}
clrscr;
writeln ('ввод матрицы коэффициентов при неизвестных х');
for i: =1 to N do
for j: =1 to N do
begin
write (' введите a [', i,',',j,'] => ');
read (a [i,j]);
end;
writeln ('ввод столбца свободных членов');
for i: =1 to N do
begin
write (' введите b [', i,'] => ');
read (b [i]);
end;
writeln ('введите вариант ');
writeln (' 1 - решение системы линейных уравнений методом Гаусса ');
write (' 2 - решение системы линейных уравнений матричным методом => ');
readln (variant);
case variant of
1: gauss (a,b,x,n);
2: matrica (a,b,n);
else writeln ('неверно указан вариант');
end;
end.