Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD (стр. 6 из 8)
Вторая группа:
1. last(v) – вычисляет номер последнего элемента вектора V;
2. length(v) – вычисляет количество элементов вектора V;
3. min(v), max(v) – вычисляет минимальное и максимальное значениявектора V;
4. Re(v) – создает вектор из реальных частей комплексныхэлементов вектора V;
5. Im(v) - создает вектор из мнимых частей комплексныхэлементов вектора V;
6. sort(V) – сортировка элементов вектора Vпо возрастанию;
7. reverse (sort(v)) – сортировка элементов вектора Vпо убыванию;
8. csort (A,n) – сортировка элементов n – гостолбца матрицы А по возрастанию (перестановкой строк);
9. rsort (A,n) – сортировка элементов n – ойстроки матрица А по возрастанию (перестановкой столбцов);
10. rows(A) – вычисляет число строк в матрице А;
11. cols(A) – вычисляет число столбцов в матрице А;
12. max(A), min(A) – определяет максимальное и минимальное значенияматрицы А;
13. tr(A) – вычисляет след квадратной матрицы А (следматрицы равен сумме ее диагональных элементов по главной диагонали);
14. mean(A) – среднее значение элементов матрица А.
Действие функций второй группы ясно изих названия, поэтому примеры для них приводить не будем.
Третья группа:
1. rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду сединичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строкамиматрицы: перестановка строк, умножение строки на число, сложение строк);
2. rank(A) – вычисляет ранг матрицы А (количестволинейно-независимых строк или это число ненулевых строк ступенчатой матрицы rref(A));
3. eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратнойматрицы А;
4. eigenvecs (A) – вычисление собственных векторов квадратнойматрицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть собственныевекторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядкуследования собственных значений, вычисленных с помощью функции eigenvals(A);
5. eigenvec(A,e) – вычисление собственного вектора матрицы А,отвечающего собственному значению e;
6. normi(A) – max – норма, или ¥ - норма (infinity norm). влинейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят всоответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику;
7. lsolve (A,b) – решение системы линейных алгебраическихуравнений вида
.Функции третьей группы реализуют, какправило, довольно сложные вычислительные алгоритмы. Приведем примеры наиспользование функций rref и функций для вычисления собственных значений исобственных векторов матрицы. Задача поиска собственных значений исобственных векторов матрицы очень часто встречается в вычислительной практике.
В самом простом виде задача насобственные значения матрицы формулируется следующим образом: требуется найтитакие значения l, чтобы матричноеуравнение
имелорешение. В таком случае число l называютсобственным числом матрицы А, а n- компонентный вектор Х,приводящий уравнение с заданным lв тождество – собственным вектором. В вышеприведенном примере собственныевектора матрицы А получены в матрице MS. Проверка проведена дляпервого столбца матрицы MS и соответствующего ему собственного числа l0=5.439.Решение систем линейныхалгебраических уравнений. Этотвопрос является центральным в вычислительной линейной алгебре.
В математике рассматриваются системылинейных уравнений двух видов - однородные и неоднородные.
Неоднородная система уравнений в матричном виде записываетсяследующим образом:
. Здесь А – матрица коэффициентовсистемы, В – вектор свободных членов, Х – вектор неизвестных системы.Неоднородная система имеет одноединственное решение, если определитель матрицы отличен от нуля.Для нахождения точного решения неоднородных систем линейных уравнений влинейной алгебре используются три основных метода:
- метод обратной матрицы, он вам уже известен;
- метод исключений Гаусса;
- метод Крамера.
Неоднородная система линейных уравненийв случае равенства ее определителя нулю имеет множество решений,если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, либо неимеет решения, если это условие не выполняется. Решить такие системы в MatCADe можно методом Гаусса.
В выше приведенном примере получилисистему из трех уравнений с пятью неизвестными, поэтому решение системы будетиметь два свободных параметра (x4, x5).
Однородная система линейных алгебраических уравнений можетбыть представлена в виде
, т.е. правая часть уравненияпредставляет вектор из нулевых элементов. Как известно, для того чтобыоднородная система линейных уравнений имела решение, определительсоответствующей матрицы должен равняться нулю. Это означает, чтоколичество независимых уравнений в системе (т.е. ранг матрицы) меньше, чемколичество неизвестных (т.е. порядок матрицы): rank(A)< n. Но вначале нужно выделить в системе эти самыенезависимые уравнения. Это делается с помощью функции rref, которая с помощью метода исключений Гаусса приводит матрицу кступенчатому виду. 
Дифференциальные уравнения являютсяосновой огромного количества расчетных задач из самых различных областей наукии техники.
В MathCAD нетсредств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточнохорошо представлены численные методы их решения. Дифференциальные уравнения –это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е.числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (илисистемы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Еслив уравнения входят производные только по одной переменной, то они называютсяобыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случаеговорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить(иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определитьнеизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.
Как известно, одно обыкновенноедифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение,если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничныеусловия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ спомощью MathCAD:
- задачи Коши, для которых определены начальные условия наискомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервалаинтегрирования уравнения;
- краевые задачи, для которых заданы определенныесоотношения сразу на обеих границах интервала. Из дифференциальных уравнений вчастных производных есть возможность решать только уравнения с двумянезависимыми переменными: одномерные параболические игиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии,волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения(уравнения Пуассона и Лапласа).
В MathCAD нетуниверсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть околодвадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий иметодов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).
Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)
ОДУ первого порядка называется уравнение
F(x,y,y’)=0
F – известная функция трех переменных;
x – независимая переменная на интервалеинтегрирования[a,b];
y – неизвестная функция;
y’ – ее производная.
Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, еслиона при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению
F(x,y(x),y’(x))=0
График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциальногоуравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будетмножество. При известных начальных условиях y(x0)= y0решение y(x) будетединственным. Вычислительный процессор MathCADможет работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительнопроизводной y’=f(x,y)
ОДУ высших порядков
Обыкновенным дифференциальным уравнениемn-го порядка называется уравнение вида
F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0
F – известная функция n+2 переменных;
x – независимая переменная на интервалеинтегрирования[a,b];
y – неизвестная функция;
n – порядок уравнения.
Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, еслиона при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению
F(x, y(x), y’(x),y’’(x),…, y(n)(x))=0
Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид
Y(n) =f(x,y, y’, …, y(n-1))