Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины (стр. 3 из 4)
 |  |  |  |  |  |  |
 | 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150, 12 |
 | 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15, -3 |
 | -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0, 2 |
 | -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15, 3 |
 | 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150, -12 |
Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы - из нижних строчек.
2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.
2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем
Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:
,которое описывает изменение температуры
вдоль металлического стержня длиной в 1 метр ( 
), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами 
и 
.Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как
.Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей
(
)и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через
.2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями
Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:
Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. l=200 вт/(м×К).
Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 2´0.1252=0.03125 м2.
Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100°:
.Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид:
В полученной системе j 0=1, а j 8=0.
В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями «вперед», что в цифровой моделирующей среде может случиться и при непрерывном времени, соотношение между шагом по временной переменной
и по пространственной 
должно подчиняться следующему неравенству: 
. При несоблюдении этого условия решение может оказаться численно неустойчивым.2.3 Программирование для математического моделирования
Полученная в пункте 2.2 система дифференциальных уравнений, благодаря представлению искомых переменных в относительном виде, при максимальных напряжениях на выходах операционных блоков в 1 вольт и масштабных множителях, равных единице, специального расчета коэффициентов передач не требует. Коэффициенты по входам сумматоров будут такими же, как в уравнениях.
 |
Схема соединения операционных блоков для этой задачи показана на рисунке 1.
Рисунок 1
2.4 Программирование задачи для метода аналогий
Если в окончательной системе дифференциальных уравнений, полученных в п. 4.2, каждое уравнение преобразовать по Лапласу и разрешить относительно переменной с индексом переменной в правой части, то получится система следующего вида:
,где
- ранее вычисленный коэффициент;p - комплексный параметр, вызванный применением преобразования Лапласа к производной.
Рисунок 2
Аналогичное выражение получается для напряжений в пассивной электрической цепи, показанной на рисунке 2, если для входных и выходных напряжений использовать одинаковую индексацию.
Зависимость напряжения на внутреннем узле по отношению к общему проводу будет:
.Если положить равными
и 
, то достаточно при емкости С=1 мкФ выбрать сопротивление R=160 кОм. В этом случае a=6.25 1/с.Соединив такие ячейки (аналоги дифференциальных уравнений системы) в последовательную электрическую цепь, мы получаем аналоговую модель дифференциального уравнения теплопроводности, которая изображена на рисунке 3.
Рисунок 3
2.5 Моделирование и численное решение задачи
2.5.1 Решение задачи методом моделирования