Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра ТМ та КТС

Група ЗІМ 03-1т

Курсова робота

з інформатики

на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»

Житомир


Зміст

Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку

Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера


Завдання № 1

Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a 4 x4 +a5 x5 з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4

Вихідні дані:

Варіант a0 a1 a2 a3 a4 a5
2 1 0.9 0.8 0.7 0.5 2.3

Реалізація у MS Excel:

Хід виконання:


Визначений інтеграл

чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.

Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули

Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд

де cj = 1,2,2,2,….2,1.

Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою

Елементарна площа визначається інтегралом

Враховуючи, що

Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)


де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.

У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.

Завдання № 2

Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0 +a1 x+a2 x2 +a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.

Вихідні дані:

Варіант a0 a1 a2 a3
2 1,3 -7 -4 -4

Реалізація у MS Excel:


Хід виконання:

1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈ 0,17

2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .

В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:

При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:

Чергове k-е наближення:

В якості малої величини

беремо задану точність обчислень
, тоді розрахункова формула має вигляд:

При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:

Для першого наближення:


Для подальших наближень:

Завдання № 3,4

Наближення функцій поліномами вищого порядку

Функція y=f(x) задана таблицею значень

у точках
. Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен
найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина
стабілізується або починає зростати.

Вихідні дані:

Варіант 2
x 0 0,375 0,563 0,75 1,125 1,313 1,5 1,690 1,875 2,063 2,25 2,438 2,625 2,813 3
y 4.568 3,365 2,810 2,624 0,674 0,557 0,384 -0,556 -1,44 -1,696 -1,91 -2,819 -3,625 -3,941 -4,367

Хід виконання:

1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.

2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення

.

3. Будуємо гістограму залежності

від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному графіку будуємо многочлени Pm , m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Реалізація у MS Excel:

Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уіі j

За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:


Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).

Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).

Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі , визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі .


Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.

Визначаємо величину

для кожного полінома та будуємо гістограму:


Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення

, але визначимо мінімум
за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції

Завдання № 5

Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера

Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0 , y0 ), вибираючи крок інтегрування h, де

y(xi +h)=y(xi )+h·y'(xi )


Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.

Вихідні дані:

Варіант h [a, b] (x0 , y0 )
2 0,2 [0;1] (0;1)

Реалізація у MS Excel:

Графіки розрахованих даних:


СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

Все материалы в разделе "Информатика и программирование"

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.

Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.