Генерация матриц (стр. 2 из 8)
Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы A на матрицу Bимеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и Bодинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц A и Bоба произведения ABи BA определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает перестановочным свойством. В самом деле, если положить
, 
, то 
, а 
.Здесь видны важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство. Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называются коммутирующими.
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка nимеет вид
,где
– какие угодно числа. Если все эти числа равны между собой, т.е. 
,то для любой квадратной матрицы Aпорядка nсправедливо равенство AD=DA. Проверим это, обозначим символами 
и 
элементы, стоящие на пересечении i‑й строки и j‑го столбца матриц ADи DAсоответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы Dполучим, что 
, ,(1.6)т.е.
= .Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами
особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d=l, называется единичной матрицейn‑го порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при d=0,называется нулевой матрицей n‑го порядка и обозначается символом O. Таким образом,
, 
.В силу доказанного выше AE = EAи AO = OA. Более того, из формул (1.6) видно, что
AE = EA = A, AO = OA = O.(1.7)
Первая из формул (1.7) характеризует особую роль единичной матрицы E, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы O, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство
A + O = O + A = A.
Нулевой матрицей называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю.
Блочные матрицы. Пусть некоторая матрица
при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Тогда возникает возможность рассмотрения исходной матрицы Aкак некоторой новой (так называемой блочной) матрицы 
, элементами 
которой служат указанные блоки. Указанные элементы обозначаются большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжены двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй – номер «блочного» столбца.Например, матрицу
можно рассматривать как блочную матрицу
,элементами которой служат следующие блоки:
, 
, 
, 
.Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица
является блочной и имеет блочные элементы , то при том же разбиении на блоки матрице 
отвечают блочные элементы 
. При этом блочные элементы сами вычисляются по правилу умножения матрицы на число λ.Столь же элементарно проверяется, что если матрицы A и Bимеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц A и Bотвечает блочная матрица с элементами
= + 
(здесь и – блочные элементы матриц A и B).Пусть A и B– две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока
равно числу строк блока (так что при любых α, β и γ определено произведение матриц ). Тогда произведение C = AB представляет собой матрицу с элементами , определяемыми формулой 
.Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц A и B.
В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц.
1.2 Определители
Целью этого параграфа является построение теории определителей любого порядка п.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка n:
. (1.8)С каждой такой матрицей связана определенная численная характеристика, называемая определителем, соответствующим этой матрице.
Если порядок nматрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента a11и определителем первого порядка соответствующим такой матрице, называется величиной этого элемента.
Если далее порядок nматрицы (1.8) равен двум, т.е. если эта матрица имеет вид
, (1.9)то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, есть число, равное a11a22 – a12a21и обозначаемое одним из символов
.Итак, по определению
. (1.10)Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.