Позиційні системи числення для запису чисел використають обмежений набір символів, називаних цифрами, і величина числа залежить не тільки від набору цифр, але й від того, у якій послідовності записані цифри, тобто від позиції, займаною цифрою, наприклад, 125 й 215. Кількість цифр, використовуваних для запису числа, називається підставою системи числення, надалі його позначимо q.
У повсякденному житті ми користуємося десятковою позиційною системою числення, q = 10, тобто використається 10 цифр: 0 12 3 4 5 6 7 8 9.
Розглянемо правила запису чисел у позиційній десятковій системі числення. Числа від 0 до 9 записуються цифрами, для запису наступного числа цифри не існує, тому замість 9 пишуть 0, але левее нуля утвориться ще один розряд, називаний старшим, де записується (додається) 1, у результаті виходить 10. Потім підуть числа 11, 12, але на 19 знову молодший розряд заповниться й ми його знову замінимо на 0, а старший розряд збільшимо на 1, одержимо 20. Далі за аналогією 30, 40...90 , 91, 92 ... до 99. Тут заповненими виявляються два розряди відразу; щоб одержати наступне число, ми заміняємо обоє на 0, а в старшому розряді, тепер уже третьому, поставимо 1 (тобто одержимо число 100) і т.д. Очевидно, що, використовуючи кінцеве число цифр, можна записати кожне як завгодно велике число. Помітимо також, що виробництво арифметичних дій у десятковій системі числення досить просто.
Число в позиційній системі числення з підставою q може бути представлене у вигляді полінома по ступенях q. Наприклад, у десятковій системі ми маємо число:
123,45 = 1*102+ 2*101+ 3*100+ 4*10-1 + 5*10-2,
а в загальному виді це правило запишеться так (формула 1.):
X(q)= xn-1*qn-1+xn-2*qn-2 +..+ x1*q1+ x0*q0+ x-1*q-1+..+ x-m*q-m
тут X(q) - запис числа в системі числення з підставою q;
xi - натуральні числа менше q, тобто цифри;
n - число розрядів цілої частини;
m - число розрядів дробової частини.
Записуючи ліворуч праворуч цифри числа, ми одержимо закодованій запис числа в q-ичній системі числення (формула 2.):
X(q)= xn-1*xn-2*x1*x0* x-1* x-2* x-m
В інформатиці, внаслідок застосування електронних засобів обчислюваль-ної техніки, велике значення має двійкова система числення, q = 2. На ранніх етапах розвитку обчислювальної техніки арифметичні операції з дійсними числами проводилися у двійковій системі через простоту їхньої реалізації в електронних схемах обчислювальних машин. Наприклад, таблиця додавання й таблиця множення будуть мати по чотирьох правила (табл. 1).
Таблиця 1. Правила таблиці додавання та таблиці множення
| 0 + 0 = 0 | 0 x 0 = 0 |
| 0 + 1 = 1 | 0 x 1= 0 |
| 1 + 0 =1 | 1 x 0 = 0 |
| 1 + 1 = 1 | 1 x 1 = 1 |
А виходить, для реалізації порозрядної арифметики в комп'ютері будуть потрібні замість двох таблиць по сто правил у десятковій системі числення дві таблиці по чотирьох правила у двійковій. Відповідно на апаратному рівні замість двохсот електронних схем - вісім.
Але запис числа у двійковій системі числення довший запису того ж числа в десятковій системі числення в log210 разів (приблизно в 3,3 рази). Це громіздко й не зручно для використання, тому що звичайно людина може одночасно сприйняти не більше п'яти-семи одиниць інформації, тобто зручно буде користуватися такими системами числення, у яких найбільше часто використовувані числа (від одиниць до тисяч) записувалися б одними-чотирма цифрами. Як це буде показано далі, переклад числа, записаного у двійковій системі числення, у восьмеричну й шістнадцятеричну дуже сильно спрощується в порівнянні з перекладом з десяткової у двійкову. Запис же чисел у них у три рази коротше для восьмеричної й у чотири для шістнадцятеричної системи, чим у двійкової, але довжини чисел у десяткової, восьмеричної й шістнадцятеричної системах числення будуть розрізнятися ненабагато. Тому, поряд із двійковою системою числення, в інформатиці мають ходіння восьмерична й шістнадцятерична системи числення.
Восьмерична система числення має вісім цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7. Шістнадцятерична - шістнадцять, причому перші 10 цифр збігаються за написанням із цифрами десяткової системи числення, а для позначення шести цифр, що залишилися, застосовуються більші латинські букви, тобто для шістнадцятеричної системи числення одержимо набір цифр: 0123456789ABCDEF.
Якщо з контексту не ясно, до якої системи числення ставиться запис, то підстава системи записується після числа у вигляді нижнього індексу. Наприклад, те саме число 231, записане в десятковій системі, запишеться у двійкової, восьмеричної й шістнадцятеричної системах числення в такий спосіб:
231(10) = 11100111(2) = 347(8) = Е7
Запишемо початок натурального ряду в десятковій, двійковій, восьмеричній, шістнадцятеричній системах числення (табл. 2).
Таблиця 2. Натуральний ряд чисел у різних системах числення.
| Десяткова | Двійкова | Восьмерична | Шістнадцятерична |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| Десяткова | Двійкова | Восьмерична | Шістнадцятерична |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | В |
| 12 | 1100 | 14 | С |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | Е |
| 15 | 1111 | 17 | F |
Подання чисел у двійковому коді.
Подання чисел у пам'яті комп'ютера має специфічну особливість, пов'язану з тим, що в пам'яті комп'ютера вони повинні розташовуватися в байтах - мінімальних по розмірі адресуємих (тобто до них можливе обіг) комірках пам'яті. Очевидно, адресою числа варто вважати адреса першого байта. У байті може втримуватися довільний код з восьми двійкових розрядів, і завдання подання полягає в тім, щоб указати правила, як в одному або декількох байтах записати число.
Дійсне число багатообразне у своїх "споживчих властивостях". Числа можуть бути цілі точні, дробові точні, раціональні, ірраціональні, дробові наближені, числа можуть бути позитивними й негативними. Числа можуть бути "карликами", наприклад, маса атома, "гігантами", наприклад, маса Землі, реальними, наприклад, кількість студентів у групі, вік, ріст. І кожне з перерахованих чисел зажадає для оптимального подання в пам'яті своя кількість байтів.
Очевидно, єдиного оптимального подання для всіх дійсних чисел створити неможливо, тому творці обчислювальних систем пішли по шляху поділу єдиного по суті безлічі чисел на типи (наприклад, цілі в діапазоні від ... до ..., наближені із плаваючою крапкою з кількістю значущих цифр ... і т.д.). Для кожного окремо типу створюється власний спосіб подання.
Цілі числа. Цілі позитивні числа від 0 до 255 можна представити безпосередньо у двійковій системі числення (двійковому коді). Такі числа будуть займати один байт у пам'яті комп'ютера (табл. 3).
Таблиця 3. Двійковій код цілих чисел.
| Число | Двійковий код числа |
| 0 | 0000 0000 |
| 1 | 0000 0001 |
| 2 | 0000 0010 |
| 3 | 0000 0011 |
| … | … |
| 255 | 1111 1111 |
У такій формі подання легко реалізується на комп'ютерах двійкова арифметика.
Якщо потрібні й негативні числа, то знак числа може бути закодований окремим битому, звичайно це старший біт; нуль інтерпретується як плюс, одиниця як мінус. У такому випадку одним байтом може бути закодовані цілі числа в інтервалі від -127 до +127, причому двійкова арифметика буде трохи ускладнена, тому що в цьому випадку існують два коди, що зображують число нуль 0000 0000 й 1000 0000, і в комп'ютерах на апаратному рівні це буде потрібно передбачити. Розглянутий спосіб подання цілих чисел називається прямим кодом. Положення з негативними числами трохи спрощується, якщо використати, так званий, додатковий код. У додатковому коді позитивні числа збігаються з позитивними числами в прямому коді, негативні ж числа виходять у результаті вирахування з 1 0000 0000 відповідного позитивного числа. Наприклад, число -3 одержить код:
_ 1 0000 0000
0000 0011
1111 1101
У додатковому коді добре реалізується арифметика, тому що кожен наступний код виходить із попереднім додатком одиниці з точністю до біта в дев'ятому розряді. Наприклад
5-3 = 5 + (-3)
0000 0101
1111 1101
1 0000 0010, тобто, відкидаючи підкреслений старший розряд, одержимо 2.
Аналогічно цілі числа від 0 так 65536 і цілі числа від -32768 до 32767 у двійковій (шістнадцатеричної) системі числення представляються у двобайтових осередках. Існують подання цілих чисел й у чотирьобайтових осередках.
Дійсні числа. Дійсні числа в математику представляються кінцевими або нескінченними дробами, тобто точність подання чисел не обмежена. Однак у комп'ютерах числа зберігаються в регістрах і комірках пам'яті, які являють собою послідовність байтів з обмеженою кількістю розрядів. Отже, нескінченні або дуже довгі числа усікаються до деякої довжини й у комп'ютерному поданні виступають як наближені. У більшості систем програмування в написанні дійсних чисел ціла й дробова частини розділяються не комі, а крапкою.
Для подання дійсних чисел, як дуже маленьких, так і дуже більших, зручно використати форму запису чисел у вигляді добутку у формулі 3.
X = m * qp
де m - мантиса числа;
q - підстава системи числення;
р - ціле число, називане порядком.
Такий спосіб запису чисел називається поданням числа із плаваючою крапкою.