· базисные переменные и функция цели выражаются через небазисные переменные;

· по определенному правилу выбирается та из небазисных переменных, изменение значения которой способно улучшить значение F(x) , и она вводится в базис;

· определяется, какая из базисных переменных должна быть выведена из базиса, при этом новый набор базисных переменных, образующийся на каждом шаге, отличается от предыдущего только одной переменной;

· базисные переменные и функция цели выражаются через новые небазисные переменные, и повторяются операции 2 и 3.

Если на определенном шаге окажется, что изменение значений любой из небазисных переменных не может улучшить F(x) , то последнее базисное решение оказывается оптимальным.

4. Нахождение экстремума функции при наличии ограничений

Метод симплексных процедур

Симплексом в пространстве n-измерений называют выпуклый многогранник, имеющий n+1 вершин, не лежащих в подпространстве размерности, меньшей n.

Решение задачи нахождения условного экстремума функции двух переменных может находиться либо на границах выпуклого многогранника, либо на его вершинах.

Согласно методу симплексных процедур экстремум функции обязательно лежит среди допустимых базисных решений. Это позволяет наметить путь к решению задачи, число которых конечно, а также найти все допустимые базисные решения и для каждого вычислить значение целевой функции, а затем выбрать из них min/max, хотя данный метод достаточно трудоемок.

Рис. 4.1. Блок-схема метода симплексных процедур.

Реализация метода в программе:

Рис. 4.2. Реализация метода симплексных процедур.

Рис. 4.3. График метода симплексных процедур.

Вывод: Минимальное значение функция принимает в точке А2 (2.3, 0.3). F(2.3, 0.3) = 7,003.

5. Синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина

Синтез системы

Критерий управления, как отмечалось ранее, в этом случае

Мера ошибки в критерии H =1, а верхний предел T неизвестен. Начальная Х(0) = Х₀ и конечная Х(T) = Х_T точки закреплены.

Запишем функцию Гамильтона и условия трансверсальности:

(T) и

(0)-произвольны.

Согласно принципу максимума Понтрягина, стратегия управления состоит в минимизации функции Гамильтона относительно u. Минимум Г будет тогда, когда

min по и или

min по и

Отсюда

(5.2)

Таким образом, стратегия управления и характер u*(t) определены: оптимальное управление - это релейное управление, максимальное по величине, причем переключение управления производится тогда, когда функция

^ТВ пересекает ось времени t.

По изложенной методике определим оптимальное управление

, которое произвольное начальное состояние (х₁₀, x₂₀) переводит в начало координат за минимальное время Т.

Представим объект

(5.1) в виде уравнения состояния (нормальная форма)

(5.3)

В рассматриваемом примере матрица

, вектор

. Образуем матрицу

Матрица G— невырожденная, поэтому система (3) будет нормальной. Характеристические числа матрицы A

= 0,

= -2, это числа вещественные, поэтому система (3) удовлетворяет условиям теоремы об n-интервалах. Оптимальное управление u*(t) является кусочно-постоянным и имеет не более двух интервалов постоянства.

Таким образом, управляющие последовательности в зависимости от начального состояния будут: {+ 1}, {-1},{+1,-1}, {-1, + 1}.

Обозначим u* = ∆=±1 и найдем общее решение системы при и* = ∆.

Обозначим

– множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и* = {+1},

– множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и* = {-1}. Эти множества описываются уравнениями

Если принять

то множество

запишется в виде

Закон управления

(5.4)

Линия

представляет собой линию переключения.

Введем функцию

, характеризующую расстояние от текущего положения фазовой точки

(x₁,x₂) до линии переключения:

(5.5)

Когда фазовая точка окажется на линии переключения, то правая часть уравнения (5) будет равна нулю (

= 0) и управляющее устройство должно произвести переключение знака управления на противоположный. Пока фазовая точка находится над линией переключения,

> 0 и управление должно быть отрицательным и (t) = -U. Когда фазовая точка находится под линией переключения,

< 0 и управление должно быть положительным и (t) = +U. Таким образом, в зависимости от знака должен выбираться и знак управления:

Все изложенное позволяет записать алгоритм оптимального по быстродействию регулятора для объекта (1):

=0, если

х₂

По алгоритму решения составим структурную схему системы, реализующей закон управления

Рис. 5.1. Структурная схема системы

Моделирование объекта

По алгоритму решения

полученному ранее, составим структурные схемы для построения переходной и импульсной характеристик системы, реализующие закон управления для объекта

, где k = 1, T₁ = 10, T₂ = 8.

Рис. 5.2. Структурная схема модели ОСАУ для переходной характеристики