В переписке с друзьями Гаусс отмечал, что чтение труда Лобачевского «Геометрические исследования» доставляет «совершенно исключительное наслаждение», что работа выполнена «с мастерством, в чисто геометрическом духе». Гаусс стал изучать русский язык, чтобы читать в подлиннике труды казанского ученого.
В одном из писем к своему другу, астроному Шумахеру, Гаусс писал: «Недавно я имел случай вновь просмотреть книжку Лобачевского («Геометрические исследования»). Она содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы строго последовательной, если бы Эвклидова геометрия не была бы истинной.
Некто Швей-карт назвал такую геометрию звездной. Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже 54 года ( с 1792) имею те же убеждения (с некоторым позднейшим расширением, на котором не хочу здесь останавливаться); по материалу я, таким образом, в сочинении Лобачевского не нашел ничего для себя нового; но в его развитии автор следует другому пути, отличному от того, которым шел я сам; оно выполнено Лобачевским с мастерством, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на эту книгу, которая, бесспорно, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение».
Попалась брошюра Лобачевского «Геометрические исследования...» и Яношу Бойяи, который внимательно и придирчиво изучал каждую фразу этого замечательного произведения. Он пришел к выводу, что перед ним — оригинальный, глубокий и совершенно самостоятельный труд.
Пораженный совпадением своих работ с открытием «московского математика», Янош подчеркнул, что сочинение Лобачевского «обнаруживает творческую гениальность автора». Венгерский ученый написал «Замечания по поводу «Геометрических исследований» Николая Лобачевского». К сожалению, замечания эти не попали в Казань, их обнаружили через много лет после смерти Лобачевского и Бойяи.
...После смерти Гаусса (1855 г.) была опубликована его переписка. Из нее-то ученые и узнали о высокой оценке «королем математики» трудов Лобачевского. Идеи Лобачевского стали популярны.
Появились и первые пропагандисты новой геометрии. В Германии — профессор гимназии Бальтцер, во Франции — профессор университета в Бордо Гуэль, в Италии — Баттальини и Дженокки, в Америке — Гальстед, в Англии — Клиффорд, в Бельгии — Тилли... Особенно должен быть отмечен Ж. Гуэль.
Это он в 1866 г. издал на французском языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского, сопроводив их отрывками из переписки Гаусса и Шумахера.
Благодаря Гуэлю сочинение Лобачевского обрело многих читателей. «Геометрические исследования...» стали тщательно изучать. Книгой заинтересовался и талантливый математик Э. Бельтрами. Он-то и попытался доказать возможность геометрии Лобачевского.
Бельтрами писал: «Мы старались дать себе отчет о результатах, к которым приводит учение Лобачевского, и затем мы попытались отыскать реальное основание для этого учения, прежде всего, чтобы признать этим самым необходимость нового порядка вещей и идей». Именно Бельтрами обнаружил, что на псевдосферических поверхностях осуществляется геометрия Лобачевского.
В 1868 г. в «Математическом сборнике» появилась статья, содержащая первый в России еще осторожный, но благоприятный отзыв о трудах Лобачевского. Это уже не «нелепые фантазии», это — «весьма замечательные, но мало известные труды нашего соотечественника». Труды эти становятся все более известными в России.
О геометрии Лобачевского рассуждает в «Братьях Карамазовых» Иван Федорович, обладающий, говоря словами Достоевского, «эвклидовским» характером ума: «Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму». Отсюда следует, что великий русский писатель имел отчетливое представление о новой геометрии.
В Россию со всех концов земного шара идут письма с просьбой прислать труды великого геометра. А между тем в Казани их почти не сохранилось. И вот 16 февраля 1867 г. (через одиннадцать лет после смерти Лобачевского) декан физико-математического факультета М. А. Ковальский ходатайствует перед Советом университета об издании собрания геометрических сочинений ученого.
К 100-летию со дня рождения Лобачевского (1892 г.) его имя сделалось известным во всем мире. Крупнейшие математики Э. Бельтрами, Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Софус Ли с предельной строгостью показали непротиворечивость геометрии Лобачевского, продолжили вслед за великим казанским геометром логическое обоснование математики.
Представления Лобачевского о пространстве и времени, об их связи с материей стали краеугольным камнем теории относительности. Учение о кривизне пространства также является развитием идей неэвклидовой геометрии. Эти идеи проникли в математику, в теорию функций, в механику, физику, космологию и другие отрасли знаний.
Такова судьба трудов по неэвклидовой геометрии Николая Ивановича Лобачевского — человека оригинальной мысли и огромной творческой воли, своими научными работами заслужившего право на бессмертие.