Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами. Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени (стр. 2 из 3)
Требования более высокоприоритетных классов, поступившие в систему после меченого требования, пока оно находится в очереди, также будут обслужены перед ним.
Так как меченое требование будет находиться в очереди в среднем Wp секунд, то число таких требований будет равно
.Непосредственно из формулы (*) получаем:
Эта система уравнений может быть решена рекуррентно, начиная с W1,W2 и т.д.
Полученная формула позволяет рассчитывать характеристики качества обслуживания для всех приоритетных классов. На рисунке 2 показано, как изменяется нормированная величина времени ожидания в очереди для СМО с пятью приоритетными классами с равной интенсивностью потока требований каждого приоритетного класса и равным средним временем обслуживания требований каждого класса (нижний рисунок детализирует кривые при значениях малой нагрузки).
Рис. 2 Обслуживание в порядке приоритетов в случае относительных приоритетов (Р=5, lР= l/5,
).Особую задачу представляет определение законов распределения времени ожидания.
Рассмотрим теперь систему с абсолютными приоритетами и обслуживанием в порядке приоритета с дообслуживанием. Применим подход полностью аналогичный рассмотренному ранее. Средняя задержка в системе меченого требования также состоит из трех составляющих: первая составляющая- это среднее время обслуживания, вторая – это задержка из-за обслуживания тех требований равного или более высокого приоритета, которые меченое требование застало в системе. Третья составляющая средней задержки меченого требования представляет собой задержку за счет любых требований, поступающих в систему до ухода меченого требования и имеющих строго больший приоритет. Расписывая все эти три составляющие общего времени нахождения в системе, получим
.Весьма интересной задачей является выбор приоритетов для заявок различных классов. Поскольку имеет место закон сохранения, оптимизация имеет смысл только при рассмотрении некоторых дополнительных атрибутов каждого класса требований. Предположим, что можно оценить каждую секунду задержки заявки приоритетного класса p некоторой стоимостью Cp. Тогда средняя стоимость секунды задержки для системы может быть выражена через среднее число требований каждого класса, находящихся в системе
Решим задачу нахождения дисциплины обслуживания с относительными приоритетами для системы M/G/1, которая минимизирует среднюю стоимость задержки C. Пусть имеется P приоритетных классов заявок с заданной интенсивностью поступления и средним временем обслуживания. Перенесем в левую часть постоянную сумму и выразим правую часть через известные параметры
Задача состоит в минимизации суммы в правой части этого равенства путем выбора соответствующей дисциплины обслуживания, т.е. выбора последовательности индексов p.
Обозначим
В этих обозначениях задача выглядит так: нужно минимизировать сумму произведений при условии
Условие независимости суммы функций gp от выбора дисциплины обслуживания определяется законом сохранения. Иначе говоря задача состоит в минимизации площади под кривой произведения двух функций , при условии , что площадь под кривой одной из них постоянна.
Решение состоит в том, что сначала упорядочим последовательность значений fp:
.А затем выберем для каждого fp свое значение gp, так, чтобы минимизировать сумму их произведений. Интуитивно ясно, что оптимальная стратегия выбора состоит в подборе наименьшего значения gp для наибольшего fp , далее для оставшихся значений следует поступать тем же образом. Поскольку gp=Wprp, то минимизация сводится к минимизации значений средней задержки. Таким образом, решение рассматриваемой задачи оптимизации состоит в том, что из всех возможных дисциплин обслуживания с относительным приоритетом минимум средней стоимости обеспечивает дисциплина с упорядоченными приоритетами в соответствие с неравенствами
.Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
На практике часто встречается задача назначения приоритетов в зависимости от времени поступления заявки. Например, для того, чтобы никакие требования не задерживались в системе очень долго, несмотря на общую нагрузку, организуют дисциплину обслуживания, при которой чем дольше заявка находится в системе, тем ее приоритет становится выше.
Рассмотрим приоритетные функции, линейно зависящие от времени с крутизной нарастания, зависящей от номера класса, к которому принадлежит требование.
Предположим, что некоторое меченое требование поступает в момент t и получает в момент t приоритет, определяемый значением приоритетной функции
Всякий раз, когда сервер готов к обслуживанию нового требования он выбирает из очереди требование с наивысшим мгновенным приоритетом- наибольшим значением приоритетной функции. Требования из класса с большим значением p наращивают приоритет с большей скоростью, чем требования из низшего приоритетного класса. На рисунке 3 показан пример того, как поступившее позже требование, но из высшего приоритетного класса, может получить обслуживание раньше, чем поступившее ранее требование из менее приоритетного класса. Это произойдет, если сервер освободится позже момента t0 . При освобождении сервера до этого момента, обслуживание получит первое из поступивших требований.
Рис. 3 Взаимодействие между приоритетными функциями для СМО с приоритетами, зависящими от времени.
Исследуем эту систему при экспоненциальном распределении времени обслуживания.
Найдем среднее число требований , поступивших позже меченого , из классов с p³i , которые будут обслужены раньше меченого. Очевидно, что для таких требований скорость нарастания приоритетной функции меньше скорости нарастания приоритетной функции меченого требования и , следовательно число таких требований равно нулю. Теперь определим число таких требований для классов с большей, чем у меченого скоростью нарастания приоритетной функции p< i. Из рассмотрения рисунка 3 можно видеть, что задержка меченого требования в системе для этого случая Wp=t0-t связана с интервалом времени на котором поступают заявки, опережающие меченое требование VI = ti - t соотношением
Отсюда получаем, что этот интервал равен
Следовательно, при интенсивности liвходящего потока для требований i-го класса находим среднее число «обгоняющих» требований
Рассмотрим теперь меченое требование из класса p, поступающее в момент t=0 и находящееся в очереди в течение времени tp.
Рис. 4 График приоритета qp(t), используемый для получения
.На рисунке 4 показано, что значение функции приоритета этого требования к моменту поступления на сервер будет равно bptp. При поступлении меченого требования оно застает в очереди niтребований из класса i . Одно из таких требований показанное на рисунке 4 поступило в момент t=-t1. Определим теперь среднее число требований из класса i , которые поступают до нулевого значения момента времени, находятся в нулевой момент еще в очереди и получают обслуживание раньше меченого требования. Из рисунка 4 можно видеть, что этому условию удовлетворяет требование из класса i , которое поступает в момент -t1и ожидает в очереди в течение времени
Из рассмотрения соотношений на рисунке видно, что
При i > p
Подставив вычисленные средние значения для «обгоняющих» требований получим систему линейных уравнений для величин задержки меченого требования
