Дослідження властивостей лiнiйних динамічних кіл (стр. 3 из 4)

де А(ω) та В(ω) – відповідно дійсна та уявна частини КЧФ. На дійсній осі відкладаються значення А(ω), а на уявній осі комплексної площини – значення В(ω) [2]. Графічне зображення КЧФ в координатах В та А на рис.2.4. Числові дані наведені у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 Дані для побудови частотного годографа.

0	0	0
1	0.53	40.51
2	0.781	36.068
3	0.884	28.408
4	0.93	22.771
5	0.954	18.819
6	0.967	15.97
7	0.976	13.842
8	0.981	12.2
9	0.985	10.9
10	0.988	9.845
	1	0

Рисунок 2.4 – Частотний годограф

Визначимо логарифмічні частотні характеристики. Для аргументу (частоти) логарифмічною одиницею виберемо декаду, а для функцій (логарифмічних характеристик) – децибел. За означенням ЛАЧХ та ХЗ визначаються відповідно як:

(2.7)

(2.8)

Для отримання табличних даних та для побудови графіка логарифмічної фазо-частотної характеристики (ЛФЧХ) скористаємось виразом для фазо-частотної характеристики. Графік цієї функції зобразимо на рисунку 2.6. Результати розрахунків наведені в таблиці 2.3. Графік логарифмічної АЧХ та характеристики затухання на рис 2.5.

Таблиця 2.3 Дані для побудови частотного годографа.

0	-133.979	133.979	1.571
1	-113.979	113.979	1.571
2	-93.979	93.979	1.571
3	-73.979	73.979	1.57
4	-53.98	53.98	1.567
5	-33.991	33.991	1.529
6	-14.965	14.965	1.2
7	-3.52	3.52	0.653
8	-0.063	0.063	0.099

Рисунок 2.4 – Логарифмічна АЧХ(а) та характеристика затухання(б)

Рисунок 2.5 – Логарифмічна ФЧХ

Знайдемо граничні частоти умовної смуги пропускання на рівні 3дБ, а потім значення характеристики групового часу запізнення на цих частотах.

У нашому випадку йдеться про одну смугу пропускання та дві смуги затримки: одна в області нижніх, а друга в області верхніх частот. Визначимо максимальне значення АЧХ: К_u(ω)=1. Для знаходження граничних частоти необхідно розв’язати рівняння:

.

Звідси ω_н.гр.= 1.136·107⁶ рад/с.

Таким чином умовною смугою пропускання є діапазон [2.986·10⁶;

]. Таким чином має місце фільтр високих частот (ФВЧ).

Знаючи граничну частоту, визначимо характеристику групового часу затримки на рівні 3дБ: Ψ(ω_н.гр.)= 2.651·10^-8 с.

3. Дослідження залежності частотних характеристик АЧХ та ФЧХ від зміни параметрів навантаження R1 та елемента С1

Оцінимо вплив на АЧХ та ФЧХ елементів C1 таR1 кола. Спочатку зробимо якісне , а потім кількісне оцінювання.

Основу якісного аналізу складає схема кола без будь-яких розрахунків. Задане коло можна розглядати як розподілювач напруги з резистивним елементом R1 та гілкою, що складається з елементів C1, C1, R2 (гілка Г).

На нульовій частоті опір ємнісного елемента дорівнює нескінченності, отже ємнісні елементи C1 можна вважати розривом кола, на цих елементах падає вся вхідна напруга, а через навантаження R1 струм взагалі не протікає, тому на нульовій частоті АЧХ дорівнює нулю .

Опір ємнісних елементів зменшується за гіперболічним законом. На високій частоті елементи C1 можна вважати закоротками, отже весь вхідний струм портікає через резистивний елемент навантаження, АЧХ встановлюється на рівні що дорівнює значенню опору резистивного елемента навнтаження.

На малих частотах опори ємнісних елементів є великими, тому на гілці Г падає вся вхідна напруга, з ростом частоти опір ємнісного елемента С1 зменшується і через елемент навантаження R1 починає протікати струм, в результаті АЧХ зростає. На вищих частота опір ємнісних елементів зменшується, і опір гілки Г прямує до нуля, відповідно вся вхідна напруга падає на елементі R1 кола.

При збільшенні опору елемента навантаження R1 на ньому падає більша напруга, відповідно АЧХ досягає більших значень.

Різниця початкових фаз реакції і діючого сигналу буде переважно визначатися тільки властивостями гілки Г.

При збільшенні ємності елемента С1 його реактивний опір зменшується на нижчих частотах, тому більший струм починає протікати через елемент навантаження АЧХ досягає більших значень на нижчих частотах, зростає крутіше.

Відповідно до попереднього ФЧХ приймає тільки додатні значення (схема є резистивною на великих частотах).

Підтвердимо наш якісний аналіз кількісними розрахунками (таблиці 3.1 і 3.2, рис. 3.1-3.4).

Таблиця 3.1 Вплив елементу С₁ на частотні характеристики.

	С1=0.01 нФ		С1=0.1 нФ		С1=1 нФ
	Kumin(ω)	φmin(ω)	Ku (ω)	φC1(ω)	Kumax(ω)	φmax(ω)
рад/мкс	рад	рад	рад
0	0.000	1.571	0.000	1.571	0.000	1.571
1	0.020	1.529	0.179	1.200	0.667	0.653
2	0.040	1.488	0.289	0.987	0.860	0.433
3	0.059	1.448	0.359	0.886	0.929	0.311
4	0.078	1.408	0.416	0.833	0.958	0.240
5	0.097	1.370	0.466	0.798	0.972	0.195
6	0.115	1.332	0.513	0.767	0.980	0.164
7	0.132	1.297	0.556	0.738	0.985	0.141
8	0.148	1.263	0.597	0.710	0.989	0.124
9	0.164	1.231	0.633	0.681	0.991	0.110
10	0.179	1.200	0.667	0.653	0.993	0.099

Рисунок 3.1. Залежність АЧХ від опору елемента R₁.

Рисунок 3.2. Залежність ФЧХ від опору елемента R₁.

Таблиця 3.2 Вплив елементу R₁ на частотні характеристики.

	R1=0.1 кОм		R1=1 кОм		R1=10 кОм
	Кumin(ω)	φmin(ω)	Кu(ω)	φ(ω)	Кumax(ω)	φmax(ω)
рад/мкс	рад	рад	рад
0	0.000	1.571	0.000	1.571	0.000	1.571
1	0.019	1.358	0.179	1.200	0.820	0.442
2	0.033	1.235	0.289	0.987	0.886	0.259
3	0.043	1.192	0.359	0.886	0.911	0.198
4	0.052	1.188	0.416	0.833	0.929	0.166
5	0.061	1.199	0.466	0.798	0.942	0.145
6	0.069	1.215	0.513	0.767	0.953	0.129
7	0.078	1.230	0.556	0.738	0.962	0.117
8	0.087	1.243	0.597	0.710	0.968	0.106
9	0.096	1.253	0.633	0.681	0.973	0.097
10	0.105	1.261	0.667	0.653	0.977	0.089

Рисунок 3.3. Залежність АЧХ від ємності елемента С₁.

Рисунок 3.4. Залежність ФЧХ від ємності елемента С₁.

4. Обчислення спектру заданого сигналу та спектру реакції на цей сигнал

4.1 Розрахунок спектру сигналу по його часовому представленню

Для заданого вхідного сигналу рис. 4 виконаємо пряме перетворення Фур’є:

.

Тоді спектр вхідного сигналу визначається наступним чином:

Розкладемо одержаний вираз на дійсну та уявну частини використовуючи формулу Ейлера:

Враховуючи, що

, розраховано в першому пункті. Визначимо амплітудний та фазовий спектр вхідного сигналу: