Исследование преобразований частотного спектра в возмущенных условиях (стр. 2 из 5)

(4)

Решение этой системы существенным образом зависит от величины линейных показателей преломления волн накачки n_1,2(w)  n_1,2(2w). еличины n_1,2(w,2w) могут быть найдены в результате решения системы уравнений

(5)

где:

;

H₀ – напряженность земного магнитного поля,  – угол между осью Z и направлением магнитного поля; и представляется в виде:

здесь верхний знак соответствует волне обыкновенной поляризации, нижний

– волне необыкновенной поляризации.

Легко видеть, что при

и v = 1

подкоренное выражение обращается в ноль и, следовательно, ионосферная плазма в этой области перестает быть двоякопреломляющей. При углах aпорядка 5⁰, а в случаях, когда

(что вполне возможно в ионосфере высоких широт) при углах a,  10  20⁰ v » 1 . ,  n_1,2,  2  v £ 1  1  v > 1.  v = 1 ,  (),  .  (1.1), , , ,  v » 1  Dn_1,2. ,  v » 1  (Dn_1,2= 0) .  (4), (5) :

Если на границе области, где v » 1, ,  (₁ = ₀; ₂ = 0), ₀. ₀ = p/2, будем иметь:

Интегрируя это уравнение найдем амплитуду второй гармоники

Таким образом, по мере распространения мощности волны от уровняпри v £ 1 к уровню

происходит перекачка ее энергии в энергию второй гармоники. Расстояние, на котором происходит основная (без учета поглощения – полная) перекачка, равно:

Чтобы получить выражение для интенсивности излучения второй гармоники из рассматриваемой области, предположим для простоты, что взаимодействие происходит в цилиндре с радиусом a (естественно не превышающего раствора диаграммы направленности на высоте F слоя) и длиной L (составляющей несколько длин волн мощного излучения). Предположим также, что внутри цилиндра обе волны _ и _ плоские фазовые фронты их параллельны друг другу, а интенсивности постоянны во всем объеме.

Изменение показателя преломления волны I и П гармоник в зависимости от плазменной частоты

Рис. 1.1

Введем цилиндрическую систему координат с осью Z перпендикулярную волновым фронтам. Начало координат поместим в центре торца цилиндра с началом области, где v  1.

Определим поле в произвольной точке пространства как сумму полей создаваемых в этой точке каждой элементарной областью цилиндра взаимодействия. Для нахождения такой суммы нам необходимо знать амплитуду и фазу поля создаваемого любой элементарной областью цилиндра. Если мы положим равным нулю фазу волны при Z = 0, то фаза волны излучаемой областью (r,q,Z) будет

, а в произвольной точке пространства (r₀,q₀,Z₀) этой волны будет , где r – расстояние между областями (r₀,q₀,Z₀) и (r,q,Z). Чтобы определить поле, создаваемое в точке (r₀,q₀,Z₀)  цилиндром взаимодействия вычислим интеграл:

, где V – объем цилиндра. (6)

Пусть r₀ – расстояние от точки (r₀,q₀,Z₀) до начала координат. Тогда

. Кроме того, мы имеем соотношения:

(7)

Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному точками (r₀,q₀,Z₀), (r,q,Z) и началом координат, получаем:

Объединяя выражения получаем квадратное уравнение относительно r. Корни этого уравнения равны:

(8)

Применим формулу бинома Ньютона к выражению и пренебрегая членами со степенями выше первой относительно 1/r₀ получаем:

Если точка r₀,q₀,Z₀) достаточно удалена, то имеет место соотношение:

и мы можем выражение записать в виде:

интегрируя и умножая на комплексно сопряженную величину получаем:

где J₁ – функция Бесселя первого порядка.