Цифрова обробка сигналів

Знаходження згортки послідовностей способами прямого обчисленням і з використанням z-перетворення. Побудова графіків за результатами обчислення з використанням програми MathCAD. Визначення системної функції фільтра, імпульсної та частотної характеристик.

Міністерство освіти та науки України

Житомирський інженерно-технологічний інститут

Кафедра АУТС

Розрахунково-графічна робота

“Цифрова обробка сигналів”

Житомир 2006


Задача №1.

Знайти згортку послідовностей x(n) і y(n) двома способами: прямим обчисленням і з використанням z-перетворення. Результат обчислень представити графічно.

таблиця 1.1

N 0 1 2 3 4 5 6
x(n) 3 0 -1 1 2 3 0
y(n) 1 0 2 -1 -2 0 2

Для побудови графіків я використовую програму MathCAD 2001і Professional.

Знайдемо згортку прямим обчисленням:

F(0)=x(0)×y(0) = 3;

F(1)=x(0)×y(1)+x(1)×y(0) = 0+0 = 0;

F(2)=x(0)×y(2)+x(1)×y(1)+x(2)×y(0) = 3×2+0×0+(-1) ×1 = 5;

F(3)=x(0)×y(3)+x(1)×y(2)+x(2)×y(1)+x(3)×y(0) = -3+0+0+1 = -2;

F(4)=x(0)×y(4)+x(1)×y(3)+x(2)×y(2)+x(3)×y(1)+x(4)×y(0) = -6+0-2+0+2= -6;


F(5)=x(0)×y(5)+x(1)×y(4)+x(2)×y(3)+x(3)×y(2)+x(4)×y(1)+x(5)×y(0) = 0+0+1+2+0+3 = 6;

F(6)=x(0)×y(6)+x(1)×y(5)+x(2)×y(4)+x(3)×y(3)+x(4)×y(2)+x(5)×y(1)+x(6)×y(0) = 6+0+2-1+4+0+0 = 11.

F(7)= x(0)×y(7)+x(1)×y(6)+x(2)×y(5)+x(3)×y(4)+x(4)×y(3)+x(5)×y(2)+x(6)× y(1)+x(7)×y(0) = 0+0-2-2+6+0 = 2;

F(8)=x(0)×y(8)+x(1)×y(7)+x(2)×y(6)+x(3)×y(5)+x(4)×y(4)+x(5)×y(3)+x(6)×y(2)+x(7)×y(1)+x(8)×y(0) =0+0-2+0-4-3+0+0+0 = -9;

F(9)=x(0)×y(9)+x(1)×y(8)+x(2)×y(7)+x(3)×y(6)+x(4)×y(5)+x(5)×y(4)+x(6)×y(3)+x(7)×y(2)+x(8)×y(1)+x(9)×y(0)= 0+0+0+2+0-6+0+0+0+0 = -4;

F(10)=x(0)×y(10)+x(1)×y(9)+x(2)×y(8)+x(3)×y(7)+x(4)×y(6)+x(5)×y(5)+x(6)× y(4)+x(7)×y(3)+x(8)×y(2)+x(9)×y(1)+x(10)×y(0) = 0+0+0+0+4+0+0+0+0+0+0 = 4;

F(11)=x(0)×y(11)+x(1)×y(10)+x(2)×y(9)+x(3)×y(8)+x(4)×y(7)+x(5)×y(6)+x(6)× y(5)+x(7)×y(4)+x(8)×y(3)+x(9)×y(2)+ x(10)×y(1)+x(11)×y(0) = 0+0+0+0+0+6+0+0+0+0+0+0 = 6;

F(12)=x(0)×y(12)+x(1)×y(11)+x(2)×y(10)+x(3)×y(9)+x(4)×y(8)+x(5)×y(7) +x(6)× y(6)+x(7)×y(5)+x(8)×y(4)+x(9)×y(3)+ x(10)×y(2)+x(11)×y(1)+x(12)×y(0) = 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0;

F(n)={3;0;5;-2;-6;6;11;2;-9;-4;4;6;0}

Знайдемо згортку з використанням z-перетворення:


Перемножаю і отримую результат z-перетворення:

f(0)=3 f(4)=-6 f(8)=-9 f(12)=0

f(1)=0 f(5)=6 f(9)=-4

f(2)=5 f(6)=11 f(10)=4

f(3)=-2 f(7)=2 f(11)=6

Результати обчислень представляю графічно:



Задача №2

Цифровий фільтр описується наступним різницевим рівнянням:

Період дискретизації Т= 2мс.

Знайти системну функцію фільтра, імпульсну характеристику, частотну характеристику (аналітичні вирази). Зобразити розташування нулів і полюсів системної функції на z-площині. Побудувати графік АЧХ фільтра, зобразити структурну схему фільтра, з'ясувати, чи стійкий даний фільтр. Побудувати початкову частину імпульсної характеристики фільтра (не менш 30 відліків).

Знайдемо системну функцію фільтра:

Знайдемо нулі і полюси системної функції:

Нулі:

Полюса

Отже корені комплексні:

Розташування нулів та полюсів системної функції на z-площині (рис. 2.1):

рис. 2.1

По даному графіку можна зробити висновок, що наш фільтр стійкий, оскільки його полюси лежать в межах кола одиничного радіуса.

Знайдемо імпульсну характеристику:


Кінцевий результат:

Визначимо початкову частину імпульсної характеристики фільтра (30 відліків) (таблиця 2.1. і рис. 2.2):

таблиця 2.1.

n h(n) n h(n) n h(n)
0 0,12 10 -0,33 20 -0,05
1 -1,46 11 0,13 21 0,04
2 1,96 12 0,04 22 -0,02
3 -1,78 13 -0,13 23 0,08
4 1,20 14 0,16 24 0,05
5 -0,50 15 -0,14 25 -0,01
6 -0,08 16 0,09 26 0,01
7 0,44 17 -0,03 27 -0,01
8 -0,57 18 -0,01 28 0,06
9 0,5 19 0,04 29 -0,02

30 -0,02

рис. 2.2


Знайдемо частотну характеристику:

Побудуємо графік АЧХ фільтра (рис. 2.3):

рис. 2.3

Структурна схема фільтра (рис. 2.4):

рис. 2.4