Цифровая схемотехника (стр. 7 из 12)
Описания, составленные при соглашениях положительной логики и при соглашениях отрицательной логики, логически эквивалентны, так как описывают одно и тоже устройство. Однако сложность технической реализации логических устройств в зависимости от выбранного соглашения может оказаться существенно различной. Поэтому всегда возникает проблема выбора способа описания с целью получения наиболее простого технического решения.
Как уже было сказано, основными функциями алгебры логики являются функции двух переменных. Можно составить эти функции чисто формально, придавая аргументам всевозможные значения (комбинации их значений), и затем придать функциям так же всевозможные значения. Поскольку и аргументы и функции могут принимать только два значения, то нетрудно определить число комбинаций, составленных из аргументов, и число всех возможных функций. Пусть число аргументов будет n, а количество их комбинаций N, тогда
N = 2n. (1.1)
Число же всевозможных логических функций тогда можно рассчитать по формуле
M = 2N =
. (1.2)Как видно из формулы (1.2), число булевых (логических) функций быстро растёт с увеличением числа аргументов n. Так, при n =2 получим N=22=4, а М=24=16, т.е. шестнадцать логических функций от двух аргументов.
В табл. 1.3 приведены названия и обозначения функций, их значения на том или ином наборе значений аргументов a и b, а также алгебраические выражения этих функций в дизъюнктивной совершенной нормальной форме (ДСНФ) и конъюнктивной совершенной нормальной форме (КСНФ).
Из анализа этой таблицы следует, что среди множества приведённых функций есть функции-константы «нулевая» и «единичная», функции «повторения» и «инверсии» (функции НЕ) входных переменных aи b, фактически являющиеся функциями одного аргумента, и есть функции, которые существенно зависят от двух аргументов.
В приведённых алгебраических выражениях знаком + (плюс) обозначена операция логического сложения (дизъюнкции), чертой над переменной или над логическим выражением обозначена операция инверсии, а символы логического умножения (произведения) пропущены.
Таблица 1.3
Логические функции двух аргументов
| № п/п | Название функции | Значения функции при значениях аргументов | Обозначение | Алгебраические формы функций | |||||
| а b | 0 | 0 | 1 | 1 | ДСНФ | КСНФ | |||
| 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
V0 | Нулевая | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - |  | |
| V1 | Запрет b | 0 | 0 | 0 | 1 | a¬b |  |  | |
V2 | Конъюнкция (И) | 0 | 0 | 1 | 0 | a&b или ab | ab |  | |
V3 | Повторение а | 0 | 0 | 1 | 1 | а |   |  | |
V4 | Запрет а | 0 | 1 | 0 | 0 | b¬a |  |  | |
V5 | Неравнозначность | 0 | 1 | 0 | 1 | aÅb |  |  | |
| V6 | Повторение b | 0 | 1 | 1 | 0 | b |  |  | |
V7 | Дизъюнкция (функция ИЛИ) | 0 | 1 | 1 | 1 | a+b |  | a+b | |
V8 | Пирса (ИЛИ-НЕ) | 1 | 0 | 0 | 0 |  |  |  | |
| V9 | Инверсия b (НЕ ) | 1 | 0 | 0 | 1 |  |  | ||
V10 | Равнозначность | 1 | 0 | 1 | 0 |  |  |  | |
| V11 | Импликация b | 1 | 0 | 1 | 1 | b®a |  |  | |
| V12 | Инверсия а | 1 | 1 | 0 | 0 |  |  | ||
| V13 | Шеффера (И-НЕ) | 1 | 1 | 0 | 1 |  |  |  | |
| V14 | Импликация а | 1 | 1 | 1 | 0 | a®b |  |  | |
V15 | Единичная | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |  | - | |
Функции-константы фактически выражают независимость от аргументов и, в то же самое время, их можно считать «функциями» от большого числа аргументов. Обратите внимание, нулевая функция не имеет ДСНФ, поскольку она никогда не принимает значение лог.1, а единичная функция не имеет КСНФ, так как она никогда не принимает значение лог.0. Отсюда следует вывод, что ДСНФ соответствует описанию (заданию) логических функций по условиям истинности (по лог.1), а КСНФ -по условиям ложности (по лог.0). Любая логическая функция, кроме функций-констант, имеет как ДСНФ, так и КСНФ. Это соответствует тому, что любое логическое устройство (сколь сложно оно ни было бы) можно описать по условиям срабатывания и по условиям несрабатывания.
Значения функций «повторения» и «инверсии» (V3, V6, V9, V12) либо повторяют значения одного из аргументов, либо принимают противоположные (инверсные) ему значения. Поэтому они и получили такие названия.
Функции инверсии чаще всего называют функциями НЕ. Эти функции реализуются логическими элементами НЕ (или инверторами). Функции повторения реализуются повторителями. Принято говорить, что функции инверсии и повторения «несущественно» зависят от второго аргумента, хотя их можно представить как функции двух, трёх и большего числа аргументов.
В технике функции «Неравнозначности» и «Равнозначности» более известны под названиями «сумма по модулю два (по mod 2)» и «инверсия суммы по mod 2» соответственно. Функции Шеффера и Пирса, соответственно, известны под названиями «инверсия логического произведения» (функции И-НЕ) и «инверсии логической суммы» (ИЛИ-НЕ). Эти функции реализуются одноимёнными по названию логическими элементами.
В булевой алгебре и в дальнейшем в логических выражениях принято обозначать функциипрописными буквами латинского алфавита, а аргументы функций -строчными (малыми) буквами того же алфавита.