Основные матмодели в теории надежности. Выбор числа показателей надежности. Достоверность статистической оценки показателей надежности (стр. 1 из 2)

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет информатики и

радиоэлектроники

кафедра РЭС

РЕФЕРАТ

на тему:

«Основные матмодели в теории надежности. Выбор числа показателей надежности. Достоверность статистической оценки показателей надежности»

МИНСК, 2008

Основные математические модели, используемы в теории надежности

В приведенных выше математических соотношениях зачастую использовалось понятие плотности вероятности и закон распределения.

Закон распределения - устанавливаемая определенным образом связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями.

Плотность распределения (вероятностей) - широко распространенный способ описания закона распределения

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбула является двухпараметрическим распределением. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

(1)

где δ - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных, δ > 0);

λ - параметр масштаба,

От значения коэффициента формы во многом зависит график функции плотности вероятности.

Интенсивность отказов определяется по выражению

(2)

Вероятность безотказной работы

(3)

Отметим, что при параметре δ = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при δ = 2 - в распределение Рэлея.

При δ <1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра δ можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую λ(t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Экспоненциальное распределение

Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

(4)

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(5)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов λ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея имеет следующий вид

(6)

где δ_* - параметр распределения Рэлея.

Интенсивность отказов равна:

. (7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика λ(t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(8)

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

(9)

где m_x, σ_x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

При анализе надежности РЭСИ в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m_x и s_x.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(10)

а интенсивность отказов - по формуле

(11)

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности: гамма-распределение, χ²-распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Определение закона распределения и выбор числа показателей надежности

Определение закона распределения

Во многих случаях возникает задача определения на основе имеющихся статистических данных закона распределения некоторой случайной величины X.

Необходимо сразу же подчеркнуть, что в настоящее время не существует никакого способа непосредственно получить из некоторых статистических данных математическую модель закона распределения X. Известные методы позволяют лишь подтвердить (или не подтвердить) соответствие данного статистического материала некоторой заранее выдвинутой гипотезе о законе распределения. Таким образом, процедура нахождения хорошей (в некотором смысле) математической модели закона распределения случайной величины по статистическим данным всегда слагается из двух этапов:

• Выдвижение гипотез о математических моделях распределения.

• Проверка соответствия выдвинутых гипотез имеющимся статистическим данным.

Гипотезы о законе распределения могут выдвигаться на основе теоретического анализа физической природы и свойств рассматриваемой случайной величины. Источником этих гипотез может служить также предварительный анализ имеющихся статистических данных

Проверка соответствия гипотезы статистическим данным сводится к установлению степени близости гипотетического и статистического распределений X. Для проверки гипотез о законе распределения применяются специально разработанные количественные критерии, получившие название критериев согласия. Наиболее широкое применение нашли два критерия -критерий Пирсона и критерий Колмогорова.

Выбор числа показателей надежности

Остановимся на вопросе о выборе числа показателей для каждой составляющей надежности объекта.

Выбор числа показателей той или иной составляющей надежности в большинстве технических документов (в том числе и стандартов) на различные изделия производится без достаточного обоснования. В то же время, если рассматривать эти показатели не как изолированные величины, а как носители информации о законе распределения некоторой случайной величины, то вопрос о выборе числа показателей для каждой составляющей надежности получает достаточно простое и четкое решение.

Известно, что для однозначного определения закона распределения, относящегося к некоторому типу, необходимо задать столько независимых чисел, сколько параметров имеет этот тип законов распределения. Этими числами могут быть, в частности, числовые характеристики распределения, т. е. показатели некоторой составляющей надежности. Таким образом, выбор числа показателей некоторой составляющей надежности связывается с числом параметров того типа законов распределения, к которому относятся распределение определяющей эту составляющую надежности случайной величины.

Такой - достаточно строгий и общий - подход может применяться по отношению к любой составляющей надежности. Однако, во-первых, в настоящее время предъявляются различные требования к полноте описания различных составляющих надежности объектов. Во-вторых, не для всех составляющих надежности в достаточной мере изучены типы законов распределения соответствующих случайных величин.

Описанный выше подход достаточно широко применяется при выборе числа показателей безотказности, поскольку для большинства объектов в настоящее время считается необходимым знать весь закон распределения. В качестве примера можно указать рекомендации по выбору номенклатуры и числа показателей безотказности изделий ГСП, приведенные в ГОСТ 13216- 74.

Реже такой же подход используется при выборе числа показателей ремонтопригодности. Это связано с тем, что пока еще лишь для небольшой номенклатуры промышленных изделий считается необходимым задавать распределение вероятности восстановления.

Что же касается таких составляющих надежности, как сохраняемость и долговечность, то в настоящее время знание всего закона распределения не считается необходимым. В связи с этим для описания каждой из этих составляющих выбирается обычно один показатель (редко. два), и выбор этот не связывается с типом закона распределения соответствующей случайной величины.

В таблице 1 для каждой составляющей надежности указаны случайных величины (показатели) а также типы законов распределения, используемые при их описании.

Таблица 1

Составляющая надежности	Случайная величина	Используемый закон распределения	Показатели надежности для объектов
			невосстанавливаемых	восстанавливаемых
Безотказность	Время безотказной работы Т	Экспоненциальный Нормальный Гамма	T1 - средняя наработка до отказа P(t)- вероятность безотказной работы Х- интенсивность отказов	- наработка на отказ P(t)- вероятность безотказной работы ω- параметр потока отказов
Ремонтопригодность	Время восстановленияТв	Эрланга Нормальный Экспоненциальный	—	- среднее время восстановления Р(tB)- вероятность восстановления
Сохраняемость	Время хранения до потери объектом своих характеристик Т	Нормальный Логарифмически-нормальный Гамма Вейбула Экспоненциальный	Аналогично с восстанавливаемыми	- средний срок сохраняемости - гамма-процентный срок сохраняемости Р(tс)- вероятность сохранения
Долговечность	Время от начала эксплуатации до предельногоСОСТОЯНИЯ ТД	Нормальный Логарифмически-нормальный Гамма Вейбула Экспоненциальный	Совпадают с показателями безотказности	tc - средний срок службы p- средний ресурс tpγ- гамма-процентный ресурс

Точность и достоверность статистической оценки показателей надежности