Загальний опис підходів мережевого аналізу (стр. 2 из 2)

Важливим кроком аналітичного дослідження структури мережі є її попередній якісний аналіз з метою виявлення основних топологічних неузгодженостей та потреб у явному дублюванні для забезпечення надійності функціонування. Такі висновки можна зробити, виходячи з картини поланкового розподілу апріорного за топологією віртуального канально-потокового завантаження, повнозв'язного за структурою, у припущенні, щомережу повністю завантажено згідно заданої фізичної топології структури. Нижче пропонується метод отримання картини такої «топологічної» завантаженості, виходячи лише з досліджуваної топологічної структури мережі, яка представлена у вигляді матриці суміжності.

Методи дозволяють провести якісне дослідження топологічно-потокових властивостей мережі довільної структури, маючи лише інформацію про структуру (наприклад, зображену на рис.1).

Необхідна інформація представлена у вигляді бульових параметрів, які відображають наявність чи відсутність зв'язків між вузлами графа мережі, впорядкованими у квадратну матрицю суміжності розміром [NxN] елементів, де N- кількість вузлів у графі мережі. Така матриця несе необхідну нам інформацію про мережу у неявному, неконденсованому (з відсутністю інформації про завантаженості ребер та відповідних ваг матриці суміжності) вигляді, який можна піддати прямому аналізу лише як вказівку про присутність чи відсутність конкретного ребра між вузлами графу мережі.

Рис.1. Приклад графу мережі з 16 вузлів (структура ґратки)

Маючи таку матрицю, слід задатися питанням, яку ще інформацію можна отримати, проводячи операції виключно із нею, знаючи її розмір, та яким чином забезпечити процес отримання інформації. Зрозуміло, що для отримання відображення структурної завантаженості графу мережі з N вузлів, маючи лише булеву функцію як параметр зв'язків між вузлами, необхідно провести пов'язану з розміром матриці N кількість деяких операторних перетворень.

Таким чином, слід забезпечити цілеспрямований процес перетворення матриці, для отримання структурної завантаженості мережі. Під топологічною структурною завантаженістю будемо розуміти оптимальну та максимальну комутаційну топологічну завантаженість конкретного елемента структури мережі - ребра графу потоками в даній фізичні топології мережі. Зв'язки між елементами на проміжних стадіях уможливлені тим, що матриця проходить ітераційний процес для одних і тих же елементів, послідовно отримуючи для кожного з них тенденційну залежність відносно інших, яка включає в себе вклад як самого елементу, так і решти вузлів. Фактично, якщо елемент не буде пов'язаний з іншим у одному ітераційному циклі, то він обов'язково пов'яжеться у наступному, за посередництва та лінійної комбінації певнихпроміжних елементів, що відображають дану структуру. Тоді, теоретично, встановлюється пропорційність між структурним розподілом бульових функцій у вхідній матриці суміжності, та отриманими результатами, які описуватимуть структурну завантаженість ланок графу мережі при повному оптимальному завантаженні мережі (тут та надалі мається на увазі найбільш можливо оптимальному завантаженні, що має особливе значення для неповнозв'язних топологій). Тобто, кожен вузол мережі встановлює з'єднання з кожним іншим вузлом, користуючись лише заданою структурою мережі, яка описана за допомогою графа та відповідної вхідної матриці суміжності мережі.

Найбільш прийнятним в плані простоти алгоритмізації операторним перетворенням матриці, шо відповідає умові самоприв'язки елемента до структури матриці, є піднесення її до степеня.

Матриця в загальному випадку описує певний простір, просторову множину, в даному випадку виміру N. Далі визначимо, що саме описує вхідна матриця суміжності. Оскільки матриця представляє собою логічну структуру, вона описує множину можливих шляхів між вузлами у комутаційній структурі кожним своїм елементом.

Причому, під час множення матриць елементи вибираються саме ортогонально і у потрібному базисі потрібного виміру автоматично, внаслідок ітеративності. Піднесенням матриці до степеня відбувається синтез стану системи, згідно з умовами її існування, що описуються цією матрицею.

Для прикладу множення матриці 2x2 саму на себе(піднесення матриці до квадрату):

(1)

Запишемо в аналітичному вигляді елемент матриці (1) піднесеної до квадрату:

(2)

Тут р - порядок матриці [а], a2ij- елемент матриці [а], піднесеної до квадрату.

Виконаємо ще одну операцію, забезпечимо піднесення матриці [а] до третього ступеню з використанням результату (2):

Бачимо, шо обчислення елементів відбувається двома взаємноортогональними тривимірними індексними системами (рис.2,а) простору структури початкової матриці, тобто в (3) відбувається вибірка сумарних відображень з четвертого виміру простору множин шляхів у перший вимір, як значення матриці сумарного поля топології графу. Для вибірок з усіх вимірів простору комутаційної структури, крім першого вихідного, необхідно відповідно N-1 ітеративних операцій.

Рис.2. Представлення маршрутної ланки М, як часткового випадку множини шляхів у тривимірному умовному зображенні двох ортогональних тривимірнихсистем координат

Тут вектор (0k,0l)=1←логічний базис Буля. Мk,Мl- точки у відповідних тривимірних ортогональних системах. Рис.2,б ілюструє формулу (3) у випадку піднесення елементів у структурі матриці до третього ступеню.

Проте виникає проблема високих степенів результату при високих порядках матриць. У функціональному аналізі отримано вирішення цієї проблеми, користуючись теоремою Сильвестра. Для застосування теореми, необхідно розв'язати систему рівнянь N-гoпорядку, отримуючи матричний многочлен N-гoпорядку. Отримані результати є приблизними, але придатними для якісного аналізу. В ході розв'язку задачі число у високій степені виноситься за матрицю.

Піднесення до степеня дозволяє виконати конденсацію наявних структурних зв'язків графу мережі у матрицю значень поля топології графу, яка відображатиме топологічні структурні завантаженості міжвузлових переходів. Отже, піднесення до степеня матриці слід виконувати N-1 разів.

Отримана матриця відображатиме картину топологічної структурної завантаженості мережі, виходячи тільки з її топології (та, відповідно, розміру в елементах, як базової властивості структури).

Якщо розглядати елементи матриці значень поля топології, то на відміну від елементів вхідної матриці суміжності, вони будуть небульовими, і будуть мати певні значення.