Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (стр. 2 из 4)
(9)Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:
(10)Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:
(11)Амплітуди гармонік залежать від величини
а їх початкові фази визначає знак функції 
Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні
Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:
. (12)Для випадку, що його розглядаємо (
), із (12) одержуємо:
(13)тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.
Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює
, про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях 
значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень , що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де = 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях 
можна наближено записати : 
(14)Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.
Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом
та амплітудою A (див. рис.2).B інтервалі
функція 
непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4): 
(15)Ряд Фур'є даного коливання має вигляд:
(16)Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.
2 Комплексна форма опису ряду Фур’є
Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:
. (17)
Рисунок 3 – Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри
Справді, з урахуванням (17) записуємо:
(18)Величину
(19)прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.
Величину:
називають комплексно спряженою з 
величиною.Тепер вирази (1a,б) можна записати так:
(20)Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з’являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.
Комплексні амплітуди
можна визначити на підставі функції 
за формулою: 
(21)Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок між величинами
та Ck і Sk, які описуємо виразами (3), (4): 
. (22)Зауважимо, що для від’ємних значень
Для 
де A0 визначаємо виразом (2).Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо задана функція
, яка описує сигнал.3 Спектральний опис імпульсних сигналів
Приймемо, що заданий сигнал
має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі 
.Крім того, функція
задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто 
Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію
у періодичну 
повторенням її з довільним періодом 
(рис. 16б). Отриману періодичну функцію 
можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є 
будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал 
як період. Це випливає з виразів (2)–(4). Якщо період збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс 
.
Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б) імпульсні сигнали однакової форми
Отже,
(23)Збільшуючи період
до нескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію 
, задану в інтервалі 
Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно велика, тому що при
основна частота функції 
. Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті 
) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами.