Системы случайных величин (стр. 1 из 3)

Введение

В статистической радиотехнике частот приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными величинами, например, мгновенные значения напряжения на выходах антенной решетки при воздействии на ее вход сигналов и помех и т.д. Свойства системы нескольких СВ не исчерпываются свойствами отдельной СВ, так как при этом необходимо описание связи между составляющими системы СВ.

1. Функции распределения системы из двух случайных величин

Функцией распределения системы из двух СВ

называется вероятность совместного выполнения двух неравенств
и
:

.

По определению, функция распределения

есть вероятность попадания случайной точки с координатами
в квадрат с бесконечными размерами, расположенный левее и ниже этой точки на плоскости
. Отдельно для каждой СВ X и Y можно определить одномерную функцию распределения, например,
есть вероятность попадания в полуплоскость, расположенную левее точки с координатой x . Также и
есть вероятность попадания в полуплоскость ниже точки y .

Свойства

:

1)

есть неубывающая функция обоих своих аргументов;

2) на - ¥ по обеим осям она равна нулю;

3) при равенстве +¥ одного из аргументов согласно другому аргументу она превращается в одномерную функцию распределения;

4) если оба аргумента равны +¥, то

= 1.

Вероятность попадания случайной точки в квадрат R с координатами

по оси x и
по оси y равна

.

существует как для непрерывных, так и для дискретных СВ.

2. Двумерная плотность вероятности

Двумерная плотность вероятности есть предел следующего отношения:

.

Если

не только непрерывна, но и дифференцируема, то двумерная плотность вероятности
есть вторая смешанная частная производная функции
по x и по y .

Размерность

обратна произведению размерностей СВ X и Y.

Таким образом, двумерная плотность вероятности есть предел отношению вероятности попадания точки в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера прямоугольника стремятся к нулю. Геометрически

можно представить как некоторую поверхность.

Если рассечь эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости x 0y , и спроецировать полученное сечение на плоскость x 0y , то получится кривая, называемая "кривой равной плотности вероятности".

Иногда удобно рассматривать семейства кривых равной плотности при разных уровнях сечения. Как и для одномерной плотности вероятности, здесь вводится понятие элемента вероятности

.

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область G определяется двумерным интегралом от

по этой области. Геометрически это объем, ограниченный
и областью G .

Если G есть прямоугольник с координатами вершин по оси x :

и
, а по оси y :
и
, то вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник определяется интегралом

.

Свойства двумерной плотности вероятности:

есть неотрицательная величина;

свойство нормировки аналогично одномерной плотности вероятности, но при двумерном интегрировании в бесконечных пределах.

3. Условные законы распределения отдельных СВ, входящих в систему СВ

Имея закон распределения системы двух СВ, всегда можно определить законы распределения отдельных СВ, входящих в систему. Например,

и
. Если известна плотность вероятности
, то
.

Аналогично определяется

.

Таким образом, зная двумерную плотность вероятности, всегда можно определить одномерную плотность вероятности. Обратную задачу в общем случае решить невозможно. Ее можно решить, если известны условные плотности вероятности или функции распределения.

Условным законом распределения СВ, входящей в систему, называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая СВ приняла определенное значение:

. В этом случае можно найти двумерную плотность вероятности по формуле
. Из этих выражений следует:

,
.

4. Статистическая взаимозависимость и независимость

СВ X называется независимой от СВ Y , если закон распределения величины X не зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае

при любом y . Необходимо заметить, что если СВ X не зависит от СВ Y , то и СВ Y не зависит от СВ X . Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид:

.

Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей. При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем. Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.

5. Числовые характеристики системы двух СВ. Коррелированность

Как и для одной СВ, для системы двух СВ можно использовать начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y ) называется МО произведения:

;
.

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y ) называется МО произведения k -й и s -й степени соответствующих центрированных величин.

Для непрерывных СВ –

,

.

Первый начальный момент есть МО для соответствующей СВ X или Y .

Аналогично имеются и вторые центральные моменты системы СВ:

и
, которые характеризуют степень разбросанности случайной точки вдоль осей x и y соответственно.

Особую роль в статистической радиотехнике играет второй смешанный центральный момент

= KXY - корреляционный момент.

Для непрерывных СВ корреляционный момент выражается формулой

.

Этот момент, кроме рассеивания СВ, характеризует и взаимозависимость СВ X и Y . При этом, если СВ X и Y независимы, то

. Докажем это предположение: если СВ X и Y независимы,
, то последний интеграл распадается на два независимых интеграла, в которых имеется произведение двух первых центральных моментов. Эти моменты равны нулю.


Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.