Постановка задачі оптимального стохастичного керування (стр. 1 из 3)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧнОГО КЕРУВАННЯ

1. Загальні положення

Позначатимемо

– простір станів, , .

Можливі керування є множиною припустимих керувань

, яка у свою чергу є підмножиною простору керувань : , .

Послідовність керуючих функцій

, , записана у вигляді

(1),

називається стратегією керування.

Задача оптимального керування системою (1) полягає в пошуку такої послідовності функцій керування

, що мінімізує цільовий функціонал системи за кроків. Ця послідовність називається оптимальною стратегією керування.

Визначення. Якщо кількість кроків, на яких досліджується поведінка системи, є скінченною, то задача називається задачею зі скінченним горизонтом рішення. Якщо ж ми розв’язуємо задачу на нескінченному часовому інтервалі (

), то горизонт рішення є нескінченним.

Задача оптимального стохастичного керування з дискретним часом випливає із детермінованої задачі, якщо система функціонує за умов випадкових збурень

. У цьому випадку функція (1), що визначає стан системи на кожному наступному кроці, залежить від поточного стану , керування і випадкових збурень :

, . (2)

Збурення

є елементами деякого ймовірнісного простору (де – простір збурень, – -алгебра підмножин з ) і має розподіл .

2 Критерії якості

Розглянемо спочатку критерії якості, які найчастіше використовуються в детермінованих дискретних задачах керування, а потім перейдемо до стохастичного випадку. Якщо на кожному кроці функціонування системи задана функція

, що визначає витрати за один крок керування, то критерій якості руху матиме вигляд

. (3)

Величина

, що називається коефіцієнтом дисконтування, визначає внесок витрат за всі попередні кроки на кожному поточному кроці.

Найчастіше критерій (3) використовується в тих випадках, коли необхідно розв’язувати задачі, пов'язані з витратами деяких видів ресурсів. Саме цей функціонал ми будемо використовувати надалі.

Крім критерію (3) розглядаються також критерії, які мінімізують горизонт системи

і є аналогом часу руху для неперервних систем. У цьому випадку цільовий функціонал матиме вигляд

.

Також часто в дискретних задачах керування використовуються термінальні функціонали якості

або ,

де

– заданий стан системи, – кінцевий стан системи.

Оскільки в задачі оптимального стохастичного керування збурення

випадкові, то може бути тільки апріорна інформація про них, наприклад, у вигляді функції розподілу, відомої повністю або частково. У цьому випадку якість процесу керування оцінюється за допомогою формули

,

яка дорівнює математичному сподіванню функції

.

3 Види функцій керування стохастичною системою

Задача детермінованого керування відрізняється від свого стохастичного аналога тим, що в першій відсутні неконтрольовані фактори

, і еволюція системи однозначно визначається обраним керуванням . Отже, у задачі детермінованого керування для кожного початкового стану можна заздалегідь вибрати послідовність оптимальних керувань , , …, , застосування яких дає оптимальне значення функціонала .

Для стохастичної системи в загальному випадку цього зробити не можна, оскільки система переходить зі стану в стан не тільки під дією керування

; на неї на кожному кроці також впливають випадкові величини . Очевидно, що, по-перше, ці величини можуть так змінити траєкторію системи, що обране раніше за оптимальне керування в момент його застосування вже таким не буде, і, по-друге, інформація, одержувана на кожному кроці про впливи , що мали місце, може бути додатково використана для поліпшення якості керування (рис. 1).

Рисунок 1 – Еволюція стохастичної системи (

– заданийстан)

Отже, для розв’язання задач оптимального стохастичного керування доцільно використовувати стратегії

, у яких – функція минулих станів системи. У цьому випадку схема визначення оптимального керування на кожному кроці наступна. Якщо – початковий стан системи, то за перше керування вибирається функція . Якщо мали місце стани , …, і були задані керування , …, , то керування на -му кроці вибирається як функція , ( для всіх ). Отже, для вибору керування використовується вся інформація, що є в наявності. Описана стратегія керування є позиційною, оскільки керування визначається залежно від реалізованих позицій (станів) системи, на відміну від програмного керування, коли послідовність керувань визначається заздалегідь, до початку процесу керування, і є функцією часу.

Розглянемо окремі випадки.

Якщо

, , то керування називається стаціонарним керуванням. Такі стратегії найпростіші, оскільки є одним і тим же вектором для всіх моментів часу.