регистрация /  вход

Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии (стр. 1 из 3)

ФГОУ ВПО Воронежский институт ФСИН России

Кафедра основ радиотехники и электроники

Курсовая работа

по дисциплине «Основы теории цепей»

Тема: «Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии»

Вариант 13

Выполнил:

Иванов И.И.

Воронеж 2010


СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Задание к курсовой работе и указания по выполнению

2. Пример выполнения задания курсовой работы

2.1 Составление схемы исследуемой цепи

2.2 Расчет токов и напряжений в элементах цепи

2.3 Проверка результатов с помощью законов Кирхгофа

2. 4 Построение полной векторной диаграммы цепи

2.5 Расчет частотных характеристик цепи

Библиографический список


1. Задание к курсовой работе и указания по выполнению

1. Составить схему исследуемой цепи

Для этого на вход заданной цепи (вариант схемы цепи определяется преподавателем), как показано на рис. 1.1, подключить реальный источник гармонического напряжения с э.д.с. e(t) = Em cos (ωt), амплитуда, частота ω и внутреннее сопротивление Re которого также определяются в соответствии с вариантом.


Рис. 1.1. Подключение источника напряжения к исследуемой цепи

Изобразить полученную схему цепи, проставить нумерацию элементов в соответствии с требованиями ГОСТ по оформлению чертежей и обозначить токи и напряжения на всех элементах, задав их положительные направления.

2. Рассчитать токи и напряжения в элементах цепи

Путем проведения аналитических расчетов необходимо определить амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на всех элементах цепи при отсутствии нагрузки, в отчете привести описание расчетов, результаты представить в виде таблицы, аналогичной табл. 1.1.

Таблица 1.1 Результаты расчетов

Элемент Номинал Um , мВ Im , мА ψU , град. ψI , град.
Re
R1
R2
R3
С1 (L1 )
С2 (L2 )

Так как в исследуемой цепи присутствуют реактивные элементы, то протекающие в цепи процессы могут быть описаны в комплексном виде. Поэтому при проведении аналитических расчетов необходимо использовать метод комплексных амплитуд.

В этом и последующих пунктах численные расчеты могут проводиться с применением вычислительной техники. В случае использования специальных программ (кроме «Калькулятора» ОС Windows) в отчете необходимо указать наименование использованной программы и описать подробный порядок действий с ней.

3. Проверить результаты расчетов

По результатам расчетов токов и напряжений провести проверку выполнения первого и второго законов Кирхгофа для узлов и контуров цепи.

4. Нарисовать полную векторную диаграмму цепи

Построить полную векторную диаграмму токов, напряжений и цепи источника. Все векторы, изображенные на рисунке должны быть подписаны. Допускается векторы, относящиеся к токам и напряжениям, изображать разными цветами или изобразить на двух разных диаграммах.

5. Рассчитать частотные характеристики цепи

Для выполнения расчета необходимо:

– определить комплексный коэффициент передачи по напряжению исследуемой цепи

, (1.1)

где

и
- комплексные амплитуды выходного и входного напряжений;

– рассчитать амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики;

– построить графики АЧХ и ФЧХ.


2. курсовая работа

Рассмотрим пример выполнения задания курсовой работы для схемы, приведенной на рис. 3.1 со следующими исходными данными: Em = 10 В, Re = 104 Ом, R1 = R2 = R3 = R = 2·103 Ом, C1 = C2 =1 нФ, ω = 105 рад/с.


Рис. 2.1 Схема исследуемой цепи

2.1 Составление схемы исследуемой цепи

В соответствии с п. 1 задания к курсовой работе ко входу схемы необходимо подключить источник э.д.с. с внутренним сопротивлением (т.е. дорисовать слева к имеющейся схеме условно-графическое обозначение источника э.д.с. и сопротивления), произвести нумерацию элементов (слева направо, сверху вниз) и расставить токи. Выбор направлений протекания токов во всех ветвях определяется в зависимости от направления э.д.с. После указанных действий исходная схема преобразуется к виду, приведенному на рис. 2.2.



Рис. 2.2. Преобразованная схема исследуемой цепи

2.2 Расчет токов и напряжений в элементах цепи

Расчет в данной схеме целесообразно начать с простого соединения двух элементов R3 и C2 . Комплексное сопротивление этого участка цепи как любого параллельного соединения (см. формулу (2.19)) равно

, (3.1)

где комплексное сопротивление
активного сопротивления R3 равно самому этому сопротивлению (
Ом), а комплексное сопротивление
емкости С2 равно

Ом. (3.2)

Поэтому, подставляя эти значения в (3.1), получаем, что комплексное сопротивление параллельного участка цепи R3 C2 равно


Ом. (3.3)

В дальнейшем, при нахождении токов и напряжений элементов цепи, необходимо будет применять закон Ома в комплексной форме, а следовательно, придется делить и умножать комплексные величины. Это удобнее делать если числа будут представлены в показательной форме. Для перевода числа в показательную форму необходимо найти его модуль и аргумент. Модуль полученного в (3.3) комплексного числа равен

Ом, (3.4)

а аргумент

. (3.5)

Поэтому комплексное сопротивление участка R3 C2 можно записать, как
Ом.

Участок цепи R2 R3 C2 представляет собой последовательное соединениесопротивления R2 параллельного соединения элементов R3 C2 . Поэтому комплексное сопротивление всего участка R2 R3 C2 равно

. (3.6)

Комплексное сопротивление
активного сопротивления R2 равно самому этому сопротивлению (
Ом). Следовательно, комплексное сопротивление рассматриваемого участка в соответствии с (3.3) и (3.6) можно определить по формуле


Ом. (3.7)

Точно также, как и в предыдущем случае, полученный результат целесообразно сразу преобразовать в экспоненциальную форму. Для этого необходимо найти модуль и аргумент. Модуль полученного в (3.7) комплексного числа равен

Ом, (3.8)

а аргумент

. (3.9)

Поэтому комплексное сопротивление участка цепи можно записать, как
Ом. Сопротивление R1 подключено к участку цепи R2 R3 C2 параллельно. Следовательно, комплексное сопротивление этого участка цепи как любого параллельного соединения равно

, (3.10)

Комплексное сопротивление
активного сопротивления R1 равно самому этому сопротивлению (
Ом).

Следовательно, комплексное сопротивление рассматриваемого участка R1 R2 R3 C2 можно рассчитать по формуле

Ом. (3.11)

Аналогично предыдущему случаю для перевода числа в показательную форму необходимо найти модуль и аргумент. Модуль полученного комплексного числа равен

Ом, (3.12)

а аргумент

. (3.13)

Поэтому искомое комплексное сопротивление участка цепи R1 R2 R3 C2 можно записать, как
Ом.

Всю рассматриваемую цепь можно представить как последовательное соединение (см. рис. 3.2)сопротивления Rе , емкости С1 и участка цепи R1 R2 R3 C2 . Поэтому полное комплексное сопротивление всей цепи равно

. (3.14)

Комплексное сопротивление
активного сопротивления Rе равно самому этому сопротивлению (
Ом), а следовательно, учитывая (3.11), комплексное сопротивление всей цепи можно рассчитать по формуле

Ом. (3.15)


Модуль полученного комплексного числа равен

Ом, (3.16)

а аргумент равен

. (3.17)

Поэтому полное комплексное сопротивление всей цепи можно записать как
Ом.

При изучении исследуемой цепи, как уже было отмечено выше, видно, что элементы Re , С1 и участок цепи R1 R2 R3 C2 соединены последовательно, и как следует из определения последовательного соединения, через них протекает один и тот же ток, т.е. общий ток цепи, протекающий через источник э.д.с., равен

. (3.18)

В соответствии с законом Ома в комплексной форме для участка цепи (2.9) этот ток может быть рассчитан как отношение комплексной амплитуды э.д.с. к комплексному сопротивлению всей цепи, т.е. как

. (3.19)

Комплексная амплитуда э.д.с. в общем виде в показательной форме может быть записана как
. Как следует из исходных данных, аргумент в данном случае равен нулю (φ = 0), а модуль равен Em = 10 В, т.е.
.

Таким образом, комплексная амплитуда общего тока цепи может быть рассчитана по формуле

А . (3.20)

Напряжение на сопротивлении Re равно произведению комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого элемента, т.е.

. (3.21)

Подставляя в (3.21) полученное в (3.20) выражение, а также с учетом того, что комплексное сопротивление
активного сопротивления Rе равно самому этому сопротивлению (
Ом), получаем, что

В . (3.22)

Напряжение на емкости С1 может быть рассчитано как произведение комплексной амплитуды
протекающего через нее тока на комплексное сопротивление этого элемента, которое по аналогии с (3.2) равно

Ом. (3.23)

Следовательно, напряжение на емкости С1 равно


. (3.24)

Подставляя полученные в (3.20) и (3.23) числовые данные, получаем, что

В. (3.25)

Точно таким же образом можно определить напряжение на участке цепи R1 R2 R3 C2 . Его комплексная амплитуда равна произведению комплексной амплитуды протекающего через нее тока
на комплексное сопротивление этого участка, т.е. с учетом (3.11) и (3.20)

В. (3.26)

При определении напряжения на сопротивлении R1 необходимо учитывать, что
, т.е. так как соединение R1 и R2 R3 C2 параллельное, то

В. (3.27)

Комплексная амплитуда тока, протекающего через сопротивление R1 , равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению элемента. Так как, как было замечено выше, для активного сопротивления
, ток можно рассчитать по формуле

А. (3.28)


Аналогично предыдущему случаю, комплексная амплитуда тока, протекающего через участок цепи R2 R3 С1 , равна отношению комплексной амплитуды напряжения на этом участке к полному комплексному сопротивлению участка. Эти величины уже были найдены ранее в (3.7) и (3.26). Поэтому

А . (3.29)

Как и было показано выше, напряжение на активном сопротивлении R2 может быть определено как произведение комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого элемента, т.е. как

В. (3.30)

Аналогично (3.30), напряжение на участке цепи R3 C2 равно произведению комплексной амплитуды
протекающего через нее тока на комплексное сопротивление этого участка, т.е.

В.(3.31)

Комплексная амплитуда тока, протекающего через емкость C2 , равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению элемента:

А. (3.32)

Комплексная амплитуда тока, протекающего через емкость R3 , равна

А. (3.33)

Полученные результаты заносятся в таблицу, аналогичную приведенной в задании.

Таблица 3.1 – Результаты расчета токов и напряжений в элементах цепи

Номинал Um , В Im , мкА ψU , град. ΨI , град.
Re 104 Ом 7.1 710 45 45
R1 2·103 Ом 0.9 450 43 43
R2 2·103 Ом 0.5 230 49 49
R3 2·103 Ом 0.5 250 38 38
C1 1·10-9 Ф 7.1 710 -45 45
C2 1·10-9 Ф 0. 5 50 38 128

2.3 Проверка результатов с помощью законов Кирхгофа

Для проверки результатов вычислений с помощью первого закона Кирхгофа необходимо проверить насколько точно выполняется соотношение, определяемое этим законом, а именно: сумма входящих в узел токов равна сумме выходящих токов. Так как в цепи присутствуют реактивные элементы, то все расчеты и величины при этом используются в комплексной форме.

Применительно к рассматриваемой схеме для верхнего левого узла должно выполнять соотношение

(3.34)

или в числовом виде

7,1·10-4 ·ej 45 = 4,5·10-4 ·ej 43 + 2,3·10-4 ·ej 49 . (3.35)

Рассчитаем значение выражения в правой части. Для перехода от показательной формы к нормальной используется следующее математическое правило: действительная часть равна произведению модуля на косинус аргумента, а мнимая – произведению модуля на синус аргумента, т.е. в общем виде для произвольного комплексного числа в показательной форме
можно записать:

. (3.36)

Для рассматриваемого примера в числовой форме:

4,5·10-4 ·ej43 + 2,3·10-4 ·ej49 =4,5·10-4 ·cos(430 ) + j4,5·10-4 ·sin(430 ) +

+ 2,3·10-4 ·cos(490 ) + j2,3·10-4 ·sin(490 ) = 3,3·10-4 + j3,1·10-4 +1,5·10-4 +

+ j1,7·10-4 = 4,8·10-4 – j4,8·10-4 ≈ 6,7·10-4 ·ej45 . (3.37)

Таким образом, получается, что должно выполняться соотношение

7,1·10-4 ·ej 45 = 6,7·10-4 ·ej 45 . (3.38)

Как видно из (3.38), аргументы обоих чисел точно равны друг другу, а модули отличаются на 6 %, что можно рассматривать как небольшую погрешность.

Аналогичным образом может быть проверено выполнение первого закона Кирхгофа и для остальных узлов.

Для проверки результатов с помощью второго закона Кирхгофа необходимо проверить насколько точно выполняется соотношение, определяемое этим законом, а именно: для левого контура цепи должно выполнять соотношение


(3.39)

или в числовом виде

7,1·ej 45 + 7.1·e- j 45 + 0.9·ej 43 = 10· ej 0 . (3.40)

Для суммирования в левой части этого выражения необходимо произвести преобразование чисел из показательной в нормальную форму:

7,1·ej45 + 7,1·e-j45 + 0,9·ej43 = 7,1·cos(450 ) + j7,1·sin(450 ) + 7,1·cos(450 ) –

– j7,1·sin(450 ) + 0,9·cos(430 ) + j0,9·sin(430 ) = 10,7 + j0,6 ≈ 7,1·ej3 . (3.41)

Таким образом, должно выполняться соотношение

7,1·ej 3 = 10·ej 0 . (3.42)

Как видно из (3.40), левые и правые части этого выражения приблизительно равны друг другу.

Аналогичным образом может быть проверено выполнение второго закона Кирхгофа и для остальных независимых контуров.

Рассмотрев выполнение обоих законов Кирхгофа, можно сделать вывод о правильности произведенных расчетов токов и напряжений на элементах цепи.

2.4 Построение полной векторной диаграммы цепи

Построение векторной диаграммы цепи производится на основе числовых данных, представленных в таблице. Для каждого тока (напряжения) в таблице имеются значения модуля и аргумента. Например, модуль напряжения на сопротивлении Re равен 7,1 В, а аргумент равен 450 . Следовательно, вектор, соответствующий
, будет иметь длину 7,1 (или другую в соответствии с выбранным масштабом) и угол относительно горизонтальной оси 450 (рис. 3.3).

Аналогичным образом строятся векторы, соответствующие остальным токам и напряжениям, приведенным в таблице. При этом все построения начинаются из одной точки и угол откладывается в одном направлении. После построения всех векторов, соответствующих токам и напряжениям на элементах цепи, необходимо провести вектор, соответствующий комплексной амплитуде источника э.д.с., воздействующего на цепь.

Для того, чтобы рисунок не был сильно загроможденным построения проведены раздельно на разных плоскостях для напряжений и токов, как это сделано на рис. 3.4 и рис. 3.5 применительно к рассматриваемой схеме рис. 3.2.


Рис. 3.3. Построение вектора комплексной амплитуды



Рис. 3.4. Векторная диаграмма напряжений


Рис. 3.5. Векторная диаграмма токов


2.5 Расчет частотных характеристик цепи

Для нахождения частотных характеристик цепи возможно применение как аналитического расчета, так и использование специализированных программ моделирования электрических цепей, например, ElectronicWorkBench. Рассмотрим первый вариант.

При проведении аналитического расчета частотных характеристик возможно два варианта:


Дарим 300 рублей на твой реферат!
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Мы дарим вам 300 рублей на первый заказ!