Нечеткие множества в системах управления (стр. 5 из 11)
АÈВ=АÈВ;
а также "xÎE:|mA(xi)-mA(xi)|=
, откуда для линейного индекса нечеткости имеем: 
,т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A)=d(
).3. Нечеткое множество с функцией принадлежности
иногда называют векторным индикатором нечеткости.Оценка нечеткости через энтропию
Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с n состояниями e1,e2, ..., en, с которыми связаны вероятности p1,p2, ..., pn определяется выражением:
H(p1, p2, ..., pn) = -
pi ln pi, Hmin = 0, Hmax = 1.В случае нечетких множеств положим:
pA(xi) =
Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в следующем виде:
H(pA(x1), pA(x2), ..., pA(xn)) = -
pA(xi) ln pA(xi).Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.
Принцип обобщения
Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу XÎX соответствует элемент yÎY.
Когда функцию f: X®Y называют отображением, значение f(x)ÎY, которое она принимает на элементе xÎX, обычно называют образом элемента x.
Образом множества АÌХ при отображении с®Y называют множество f(A)ÌY тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.
Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).
Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности mf(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f:X
Y.Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:X®Y или нечетком f:X
Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.Пусть f:X®Y заданное четкое отображение,
а A = {mA(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:
mf(A)(y) =
mA(x); yÎY,где f -1(y)={x/f(x)=y}.
В случае нечеткого отображения f:X
Y, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности mf(x,y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:mf(A)(y) =
min(mA(x), mf(x,y)).Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.
2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Пусть Е = Е1´Е2´ ...´Еn - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X,Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX´Y величину mR(x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.
Примеры:
Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:
| y1 | y2 | y3 | y4 | |
| x1 | 0 | 0 | 0,1 | 0,3 |
| x2 | 0 | 0,8 | 1 | 0,7 |
| x3 | 1 | 0,5 | 0,6 | 1 |
Пусть X = Y = (-
, 
), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности: 
Отношение R, для которого mR(x,y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".
В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в случае XRX соединяется ребром с весом mR(xi,xj), в случае XRY пара вершин (xi,yj) соединяется ребром c весом mR(xi,yj).
Примеры:
Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:
Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:
задает нечеткое отношение XRY.
Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GÌX´Y, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что GÇ
= Æ и GÈ 
= X´Y.Будем использовать обозначения
вместо 
и 
вместо 
.Пусть R: X´Y®[0,1].
Носитель нечеткого отношения.
Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:
S(R)={(x,y): mR(x,y)>0}.
Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.
Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:
"(x,y)ÎX´Y: mR1(x,y)£mR2(x,y),
тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .
Обозначение:R1ÍR2 .
Пример:
Отношения R1 , R2 - отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1 .
Операции над нечеткими отношениями
Объединение двух отношенийR1 и R2.
Объединение двух отношений обозначается R1ÈR2 и определяется выражением:
mR1ÈR2(x,y) = mR1(x,y)ÚmR2(x,y)
Примеры:
1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR1ÈR2y - "числа x и y очень близкие или очень различные".
Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.
