Если в пространстве Rm дана система декартовых координат х1, х2, ... хm в которой вершина еi ( i=0: n) имеет координаты х1(i), х2(i), ... хm(i), то симплекс с вершинами е0, е1, е2,...еn состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:
хk = a0хk (0) + a1хk (1) + ...+ anхk(n), k = 1: m, a ³ 0 - произвольные, å ai= 1.
Барицентрические координаты точки М на плоскости по отношению к трем базисным (не лежащим на одной плоскости) точкам А1, А2, А3 этой плоскости - такие три числа m1, m2, m3 (å mi= 1), что точка М представляет собой центр тяжести системы из трех материальных точек с массами m1, m2, m3 , расположенными в точках А1, А2, А3 ( или вершинах симплекса).
В нашем примере роль масс играют полезности, которые получают игроки по рассматриваемым дележам. Если х1 > у1, то точка х должна быть расположена ближе к вершине 1, чем точка у. Все точки, соответствующие стороне симплекса 32 имеют нулевую барицентрическую координату х1, а все точки линии, параллельной ребру 32 - одинаковую барицентричекую координату х1 . Поэтому “расстоянием” между любой точкой симплекса и какой-либо его вершиной является длина перпендикуляра, опущенного из этой вершины на прямую, проходящую через рассматриваемую точку параллельно стороне, противоположной вершине.
Для определения всех точек симплекса, соответствующих дележам, доминируемым дележом х по коалиции {1,2}, необходимо провести через х прямые, параллельные сторонам симплекса 2,3 и 1,3. Заштрихованная область и дает множество доминируемых дележей. Пунктир означает, что внутренние границы области в нее не входят. Точно так же можно построить все области доминирования дележом х по коалициям {1,2}, {2,3} и {1,3}. Незаштрихованные области - соответствуют дележам у1, доминирующим дележ х1.
Для того, чтобы дележи не доминировали друг друга, соответствующие им точки должны лежать на прямой, параллельной одной из сторон треугольника (ab, cd и ef на рисунке для дележа х).
Для игры с непостоянной суммой могут иметь место и неэфективные дележи, поэтому неравенство хi + xj £ v(i,j) , хi+ хj+ хl = 1, может быть нарушено. Так как это равносильно 1- хl £ v(i,j) , то условия доминирования принимают вид:
хi > уi , хj > уj , хl ³ 1 - v(i,j).
5. С - ядро (core).
Наличие доминирующих и доминируемых дележей в кооперативной игре приводит к появлению коалиций, заинтересованных в тех или иных дележах. Следовательно, если найдется дележ, не доминируемый никаким другим дележом, то он, скорее всего, не вызовет возражений у игроков и не приведет к образованию коалиций с "собственными интересами".
Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими - либо другими дележами, называется С-ядром этой игры.
Теорема. Для того, чтобы дележ х принадлежал С-ядру кооперативной игры с характеристической функцией v , необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции К выполнялось неравенство :
å iÎK хi ³ v(K), ( т.е. все дележи в С-ядре абсолютно неэффективны ).
Таким образом, не доминируются те дележи, в которых для любой коалиции сумма платежей больше, чем эта коалиция может гарантированно выиграть. Это означает, что любая коалиция должна согласиться на такой дележ, так как при этом игроки получают больше, чем могут выиграть самостоятельно (получить такой выигрыш "в одиночку" члены коалиции не могут).
Принадлежность дележа х к С-ядру означает только то, что дележ х не доминируется другими дележами, но это не значит, что он доминирует другие дележи. Из определения доминирования и теоремы следует, что дележ х , принадлежащий С-ядру, сам не может доминировать другие дележи ни по какой коалиции. Таким образом, множество дележей, образующий С-ядро, свойством внешней устойчивости не обладает.
Теорема. Во всякой существенной игре с постоянной суммой С-ядро пусто.
Качественно это можно обьяснить так: если дележ входит в С-ядро, то любая коалиция должна получить больше, чем она может выиграть самостоятельно. Но поскольку сумма выигышей постоянна, это можно сделать только за счет других коалиций, откуда обязательно возникнет отношение доминирования дележей (уже по другим причинам). Таким образом, любое ограничение доходов приведет к пустому С-ядру.
Пример. Рассмотрим общую кооперативную игру трех лиц в 0-1 редуцированной форме. Имеем: v(Æ ) = v(1) = v(2) = v (3) = 0; v (1,2,3) = 1; v(1,2) = C3; v (2,3) = C1; V (1,3) = C2; 0 £ Ci £ 1, i = 1:3.
Из определения свойств дележей, принадлежащих С-ядру, имеем:
x1 + x2 ³ C3 ; x1 + x2 ³ C3; x1 + x2 ³ C3; а поскольку для любого дележа справедливо правило групповой рациональности, x1 + x2 + x3 = 1, то условие принадлежности дележа к С-ядру имеет окончательный вид в форме:
1 - x3 ³ C3 ; 1 - x2 ³ C2; 1 - x1 ³ C1; или x3 £ 1- C3 ; x2 £ 1- C2 ; x1 £ 1- C1.
Сложим почленно все неравенства: x1 + x2 + x3 £ 3 - (C1 + C2 + C3). Имеем: C1 + C2 + C3 £ 2. Это условие является необходимым для существования непустого С-ядра.
6. Решение по Нейману - Моргенштерну.
Дележи, входящие в С-ядро, не доминируются другими дележами, но сами доминировать другие не могут, поэтому выбор дележа из С-ядра - решение трудно оспоримое, но далеко не самое лучшее.
Разумеется, идеальным было бы указание такого дележа, который не только не доминировался какими-либо другими дележами, но и сам бы доминировал любой другой дележ. Приемлемые результаты можно получить путем некоторого расширения класса дележей подобно введению смешанных стратегий для решения антагонистических игр.
Такое расширение было произведено Дж. фон Нейманом и О.Моргенштерном путем использования понятий внутренней и внешней устойчивости.
Под внутренней устойчивостью множества дележей, образующих решение, понимается не доминирование дележей внутри решения. Под внешней устойчивостью понимается свойство доминирования хотя-бы одним из дележей, входящих в решение, любого дележа не входящего в решение.
Решением по Нейману-Моргенштерну ( Н-М решением ) кооперативной игры называется такое множество R дележей, что:
1. Никакие два дележа из R не доминируют друг друга (внутренняя устойчивость);
2. Каким бы ни был дележ S R найдется дележ r R такой, что r dom s (внешняя устойчивость).
Теорема связи между С-ядром и Н-М решением: Если в кооперативной игре существует С-ядро и Н-М решение R, то С Ì R.
Теорема. Если некоторое Н-М решение кооперативной игры <I,v> состоит из единственного дележа х, то характеристическая функция v является несущественной. (Н-М решение существенной кооперативной игры не может состоять только из одного дележа).
Недостатки Н-М решения:
1. Известны примеры кооперативных игр, которые не имеют Н-М решения. Более того, в настоящее время не известны какие-либо критерии, позволяющие судить о наличии у игры Н-М решения. Тем самым заложенный в Н-М решении принцип оптимальности не является универсально реализуемым и область его реализуемости пока остается неопределенной.
2. Кооперативные игры, если имеют Н-М решение, то, как правило, более одного. Поэтому принцип оптимальности, приводящий к Н-М решению не является полным: он не в состоянии указать игрокам единственной системы норм распределения выигрыша.
3. Решения существенных кооперативных игр состоят из более чем из одного дележа. Таким образом даже выбор какого-либо конкретного Н-М решения еще не определяет выигрыша каждого из игроков.
Эти недостатки не "пороки", которые следовало бы исправлять, а недостатки, которые хотелось бы восполнить. Это отражает положение дел в действительности: большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются непосредственному сравнению по их предпочтительности.
7. Вектор Шепли.
До сих пор были рассмотрены решения игр, отвечающие принципам оптимальности в смысле выгодности и устойчивости ( maxmin в чистых или смешанных стратегиях ) или только устойчивости ( C-ядро и Н-М решение в кооперативных играх ). Рассмотрим решения, оптимальные в смысле справедливости.
Задача состоит в том, чтобы найти вектор распределения общего выигрыша между участниками игры: Ф(v) = ( Ф1(v), Ф2(v),... Фn(v))
При этом необходимо, чтобы Ф(v) был дележом в условиях кооперативной игры, то есть отвечал бы требованиям игдивидуальной и групповой рациональности.
Предлагаемое решение носит аксиоматический характер, то есть выводится формальным образом из некоторой полной и непротиворечивой системы аксиом. Эта система включает в себя: аксиому эффективности, аксиому симметрии и аксиому агрегации.
Аксиома эффективности: распределение выигрыша носителя игры ( N ) происходит только между игроками, входящими в носитель. Иными словами, все приращение выигрыша, достигаемое только за счет обьединения в коалицию (эффект супераддитивности), распределяется только между теми, кто его обеспечил. С другой стороны, все болваны получают только то, что они выиграли бы в одиночку или в составе коалиции.
Формально эти условия выражаеюся в том, что å Фi(v) = v (N), iÎN, и Фj(v) = v(j), jÎ I\N.
Аксиома симметрии: игроки, входящие в игру симметрично, должны получать одинаковый доход. Здесь симметричность понимается как одинаковое влияние на характеристическую функцию. Это утверждение равносильно тому, что доход игрока не зависит от его номера или "имени".